Diplomado Econometría Modulo IV: Modelos de Datos de Panel

Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)
Facultad de Economía

Mtro. Diego Sánchez Rojas

Sección 2: Modelos de Datos Panel Estático

2.1 Modelos de efectos fijos

2.2 Modelos de efectos aleatorios

¿Qué son los datos panel ?

  • Observaciones repetidas en el tiempo de las características de una misma muestra o población.

  • También conocidos como datos longitudinales o conjuntos de datos de series de tiempo transversales.

  • Objetivo: Analizar el comportamiento de una variable y los factores que influyen en ésta, durante un período de tiempo determinado.

Ejemplos de Datos Panel (1)

  • Kessler y Roth (2014) en “Getting More Organs for Transplantation” exploran la relación de como las políticas de consentimiento impactan las tasas de donación de organos.

Ejemplos de Datos Panel (2)

  • F. Vella and M. Verbeek (1998) en “Whose Wages Do Unions Raise? A Dynamic Model of Unionism and Wage Rate Determination for Young Men” en el Journal of Applied Econometrics

Tipos de Datos Panel

  • Micro Panel: Se compone por un gran número de observaciones (N) y períodos cortos de tiempo (T).

    • Ejemplos: Datos de encuestas como ENIGH y ENOE del INEGI, National Longitudinal Surveys en EU, Canadian Labor Market Activity
  • Macro Panel: Se compone por amplios períodos de tiempo y relativamente pocas observaciones.

    • Ejemplos: Agregación de información de censos y de encuestas a nivel estado, datos de países del Banco Mundial, OCDE, Euro Database, etc.

Diseños de Datos Panel

  • Panel Balanceado

    • Todos los participantes tienen medición en todos los períodos de tiempo. En este caso el número de observaciones (n) será \(n = NxT\)
  • Panel No Balanceado

    • No se tiene observaciones de todos los participantes en todos los períodos de tiempo analizados. Por tanto, \(n \< NxT.\)
  • Datos Completos

    • Sin datos faltantas, el conjunto de observaciones planeadas se logró realizar.
  • Datos Incompletos

    • Datos faltantes en el panel, el conjunto de observaciones planeadas no se logró colectar.

Estructuras de datos

¿Qué tipo de estructura tienen los datos longitudinales?

  • Fomarto Wide (Amplio): Cada fila es ocupada por un individuo o entidad y sus variables en el tiempo ocupan un columna de forma individual

  • Formato Long (Largo): Cada fila es ocupada por un individuo o entidad y sus variables asociadas en un momento específico

Formato Wide

  • En conjuntos de datos con pocas observaciones como un Macro Panel se tiene regularmente más columnas que filas.

  • Con esta estructura es fácil calcular estadística descriptiva (media, mediana, varianza) entre los diferentes individuos o entidades.

ID_Participante Estres_0m Estres_3m Estres_6m Sueno_0m Sueno_3m Sueno_6m
1 7 6 5 6.5 7.0 7.5
2 8 7 6 5.5 6.0 6.5
3 5 6 4 7.0 6.5 7.5

Formato Long

  • Identificador (primer columna) se repite y el tiempo aparece de forma explícita como variable.
  • Estructura ideal para realizar modelaje estadístico y visualizaciones en R.
ID_Participante Tiempo (meses) Nivel_Estres (1-10) Horas_Sueno
1 0 7 6.5
1 3 6 7.0
1 6 5 7.5
2 0 8 5.5
2 3 7 6.0
2 6 6 6.5
3 0 5 7.0
3 3 6 6.5
3 6 4 7.5

Ejemplo en R: Wide a Long 1

ID_Participante Estres_0m Estres_3m Estres_6m Sueno_0m Sueno_3m Sueno_6m
1 7 6 5 6.5 7.0 7.5
2 8 7 6 5.5 6.0 6.5
3 5 6 4 7.0 6.5 7.5
datos_long <- reshape(datos_wide, 
                      direction = "long",
                      varying = list(c("Estres_0m", "Estres_3m", "Estres_6m"),
                                     c("Sueno_0m", "Sueno_3m", "Sueno_6m")),
                      v.names = c("Estres", "Sueno"),
                      timevar = "Tiempo",
                      times = c(0, 3, 6),
                      idvar = "ID_Participante")  |>  
               arrange(ID_Participante)

print(datos_long)
    ID_Participante Tiempo Estres Sueno
1.0               1      0      7   6.5
1.3               1      3      6   7.0
1.6               1      6      5   7.5
2.0               2      0      8   5.5
2.3               2      3      7   6.0
2.6               2      6      6   6.5
3.0               3      0      5   7.0
3.3               3      3      6   6.5
3.6               3      6      4   7.5

Ejemplo en R: Wide a Long 2

  • Uso de la función pivot_longer()
datos_long_2 <- datos_wide |> 
                 pivot_longer(
                   cols = matches("^(Estres|Sueno)_(0m|3m|6m)$"), # selecciona todas las columnas de interés
                   names_to = c(".value", "Tiempo"),              # .value = nombre de variable base, Tiempo = medición
                   names_pattern = "^(Estres|Sueno)_(0m|3m|6m)$"  # extrae variable y tiempo del nombre de columna
                 ) |> 
                 arrange(ID_Participante)

print(datos_long_2)
# A tibble: 9 × 4
  ID_Participante Tiempo Estres Sueno
            <int> <chr>   <dbl> <dbl>
1               1 0m          7   6.5
2               1 3m          6   7  
3               1 6m          5   7.5
4               2 0m          8   5.5
5               2 3m          7   6  
6               2 6m          6   6.5
7               3 0m          5   7  
8               3 3m          6   6.5
9               3 6m          4   7.5

Ejemplo en R: Long a Wide

ID_Participante Tiempo (meses) Nivel_Estres (1-10) Horas_Sueno
1 0 7 6.5
1 3 6 7.0
1 6 5 7.5
2 0 8 5.5
2 3 7 6.0
2 6 6 6.5
3 0 5 7.0
3 3 6 6.5
3 6 4 7.5
datos_wide_n <- reshape(datos_long,
                        direction = "wide",
                        idvar = "ID_Participante",
                        timevar = "Tiempo",
                        v.names = c("Estres", "Sueno"))


print(datos_wide_n)
    ID_Participante Estres.0 Sueno.0 Estres.3 Sueno.3 Estres.6 Sueno.6
1.0               1        7     6.5        6     7.0        5     7.5
2.0               2        8     5.5        7     6.0        6     6.5
3.0               3        5     7.0        6     6.5        4     7.5

Ejemplo en R: Long a Wide 2

  • Uso de la función pivot_wider()
datos_wide_n_1 <- datos_long %>% 
  pivot_wider(
    id_cols = ID_Participante,       # Identifica cada fila base
    names_from = Tiempo,             # Columna que contiene los periodos
    values_from = c(Estres, Sueno),  # Columnas que se expanden a wide
    names_glue = "{.value}.{Tiempo}"  # Controla cómo se construyen los nombres finales
  )


print(datos_wide_n_1)
# A tibble: 3 × 7
  ID_Participante Estres.0 Estres.3 Estres.6 Sueno.0 Sueno.3 Sueno.6
            <int>    <dbl>    <dbl>    <dbl>   <dbl>   <dbl>   <dbl>
1               1        7        6        5     6.5     7       7.5
2               2        8        7        6     5.5     6       6.5
3               3        5        6        4     7       6.5     7.5

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

¿Por qué es funcional tener conjuntos de datos panel?

  • Tener datos en el tiempo de las mismas unidades de corte transversal nos permite analizar de forma dinámica relaciones entre variables.

  • Controlar la heterogeneidad no observada de corte transversal.

  • Se puede resolver uno de los problemas principales en la microeconometría e inferencia causal: el problma de la variable omitida

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Heterogeneidad
  • Variabilidad o diversidad en las unidades de una población o muestra que estamos analizando.

  • Gapminder: The gapminder data contains data on life expectancy and GDP per capita by country and year

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Heterogeneidad
  • Relaciones entre variables pueden tener grandes diferencias entre los diferentes grupos o subgrupos.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Existen diferencias no observadas (muchas veces no pueden ser observadas) que afectan la variable de interés:

  • Factores culturales, historia, políticas públicas, geografía, clima, etc.

  • Si no controlamos, pueden sesgar tus estimaciones.

  • Este sesgo es el famoso sesgo por variable omitida: confundes el efecto de una variable observada con el de una no observada pero correlacionada.

Intuición:

  • Relación Esperanza de vidas y PIB percapita: \(\beta\) podría capturar tanto el efecto del PIB como el efecto de factores no observados correlacionados (infraestructura sanitaria, educación, estabilidad política), que además suelen ser similares dentro de cada continente. Por tanto, la estimación estaría sesgada.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Problema de variable omitida

La principal motivación para utilizar datos panel es el problema de la variable omitida

  • Nos interesa encontrar efectos parciales de un conjunto de variables explicativas en una función de regresión poblacional :

\[ E(y|x_{1}, x_{2}, ... x_{k}, c ) = \textbf{x}\boldsymbol{\beta} + c \]

  • Donde c es una variable aleatoria que no observamos.

  • Constante en el tiempo, por tanto tendrá un efecto parcial sobre el tiempo, y como no es es observado le llamaremos efecto no observado.

  • A nivel individual este tipo de variables son preferencias personales, redes sociales, moral, características como las habilidades cognitivas, la motivación, educación precoz, moral,etc.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Problema de variable omitida

Asumiendo un modelo poblacional:

\[ E(y|\mathbf{x},c ) = \beta_o+ \textbf{x}\boldsymbol{\beta} + c \]

Si \(\mathrm{Cov}(\mathbf{x}, c) \neq 0\)

  • Las variables explicativas \(x\) están correlacionadas con el término de error \(c\),
    la estimación por OLS en dato transversales es sesgada e inconsistente.

  • Posibles soluciones

  1. Variable proxy:
    Encontrar una variable que represente la variable omitida \(c\) y usarla en el modelo para reducir el sesgo.

  2. Variables instrumentales (IV):
    Usar instrumentos que estén correlacionados con \(x\) pero no con el error \(c\), estimando con métodos como 2SLS.

  3. Instrumentos con múltiples indicadores:
    Incorporar varios indicadores que reflejen la variable omitida y usar técnicas avanzadas de IV.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

¿Cómo el uso de datos panel podría resolver el problema de variable omitida?

Aprovechando la información y estructura de datos panel podemos:

  • Observar cambios dentro de cada unidad a lo largo del tiempo, en lugar de solo diferencias entre unidades.

  • Controlar las características fijas en el tiempo (cultura, ubicación, instituciones históricas) que no podemos medir pero que podrían sesgar el análisis.

  • Separar el efecto de las variables que cambian con el tiempo (PIB, gasto en salud) de las que son constantes.

  • Esto reduce el sesgo porque las comparaciones se hacen contra la propia unidad en el tiempo, no solo entre unidades distintas.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Pooled OLS or POLS (¿Cómo funciona?)
  • Estimación de OLS con datos longitudinales.

\[ y_{t} = \textbf{x}_{t}\boldsymbol{\beta} + u_{t}~~~t=1,2,3,..., T \]

Donde:

  • \(y_{t} ~vector~ de~ nT~ \times ~1\)

  • \(\textbf{x}_{t}~matriz~de~nT\times K\)

  • \(u_{t}~vector~de~nT\times 1\)

  • No se toma el diseño de datos panel, es decir la temporalidad y la dimensión transversal.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

  • Para identificar una observación específica usamos subíndices:

    \(y_{it}\) = variable para el individuo (o unidad) \(i\) en el tiempo \(t\).

  • El modelo puede parecer restrictivo porque el coeficiente \(\beta\) es igual en todos los períodos.

  • Pero al elegir las variables explicativas \(x_{it}\) correctamente, podemos capturar cambios en los parámetros a lo largo del tiempo. Por ejemplo: una dummy de tiempo que sirva para capturar efectos específicos de cada año.

  • Es decir, cambios que afectan a todos por igual en ese año, como una crisis económica o un cambio en la ley.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: ¿Cómo funciona?

Ecuación de salarios con datos de panel

  • Tenemos datos para los años 1990, 1991 y 1992 sobre un mismo conjunto de individuos y queremos estimar el efecto del uso de computadoras sobre el salario.

\[\log(wage_{it}) = \beta_0 + \theta_1 d91_t + \theta_2 d92_t + \delta_1 computer_{it} + \delta_2 educ_{it} + \delta_3 exper_{it} + \delta_4 female_i + u_{it}\]

Donde:

  • \(d91_t, d92_t\): dummies para 1991 y 1992 (efectos de tiempo).
  • \(computer_{it}\): uso de computadora por persona (i) en año (t).
  • \(educ_{it}\): años de educación (puede variar en el tiempo para algunos).
  • \(exper_{it}\): experiencia laboral.
  • \(female_i\): dummy de género (constante en el tiempo).

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: ¿Cómo funciona?

  • Constantes en el tiempo: \(female_i\), industria.

  • Cambiantes en el tiempo: uso de computadora, experiencia, educación.

  • Aunque el coeficiente \(\delta\) es fijo para otras variables, los coeficientes \(\theta_1\) y \(\theta_2\) asociados a las dummies permiten capturar efectos distintos en cada año, es decir, permiten que el modelo refleje cambios en el impacto del tiempo.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Supuestos)

Supuestos

  • POLS1. Exogeneidad (Media cero de los errores)
    \[E( \textbf{x}_{t}' u_{t}) = 0~~~t=1,2,..., T\]

  • POLS2. No multicolinealidad (no combinación lineal exacta)
    \[rank[\sum_{t=1}^{T}E(\textbf{x}_{t}'\textbf{x}_{t})] = K\]

  • Si el rango es igual a K (el número de variables explicativas), significa que todas las variables son linealmente independientes entre sí.

  • Por lo tanto, no hay ninguna variable que pueda escribirse exactamente como combinación lineal de otras variables.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Supuestos)

  • POLS3.

    1. Homocedasticidad \[E(u_{t}^2|\textbf{x}_{t}) = \sigma^2\]

    2. No correlación serial \[ E(u_tu_s\textbf{x}_{t}'\textbf{x}_{s}) = 0~~~~~, t\neq s~~~t,s=1,2,...t\]

    Por tanto : \[ u_{t}\sim iid(0,\sigma^2) \]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Implementación)

  • Modelo de efectos no observados a estimar por POLS :

\[ y_{it}= \textbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta} + c_{i}+ u_{it} ~~~t=1,2,...T\]

  • Donde tendrá un error compuesto que será la suma del error no observado (efecto no observado) y un error idiosincrático

\[ v_{it } = c_{i}+ u_{it} ~~~t=1,2,...T\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Implementación)

No olvidemos

  1. \(c_i\) Efecto no observado
    • Características constantes en el tiempo para cada unidad (i).
    • No se miden directamente.
    • Ejemplos:
      • Personas: habilidades innatas, entorno familiar.
      • Empresas: ubicación, cultura organizacional.
  2. \(u_{it}\) Error idiosincrático
    • Factores que cambian con el tiempo y afectan solo esa observación.
    • Ejemplos:
      • Personas: enfermedad puntual, aumento temporal de productividad.
      • Empresas: fluctuación de demanda, problemas temporales

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Implementación)

La estimación por Pooled OLS or POLS del MEO será consistente si se cumple principalmente que:

  • POLS1. Exogeneidad

\[ E( \textbf{x}_{it}' v_{it}) = 0~~~t=1,2,..., T\]

Se tiene que cumplir que:

\[ E( \textbf{x}_{it}' u_{it}) = 0 ~~~~~y~~~ E( \textbf{x}_{it}' c_{i}) = 0~~~t=1,2,..., T\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Implementación)

  • POLS3.

    1. No correlación serial

\[E(v_{it}v_{is}\textbf{x}_{it}'\textbf{x}_{is}) = 0~~~~~, t\neq s~~~t,s=1,2,...t\]

\[ E(v_{it}v_{is})=0\]

  • Dado que el error compuesto estará correlacionado serialmente por la presencia del error no observado que es constante en cada período, POLS requiere del estimador de varianza robusta.

  • Supuestos muy estrictos

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Consideraciones)

  • Pooled OLS estima el modelo de panel como si todos los datos fueran una sola gran muestra de corte transversal.

  • No diferencia entre variación entre individuos y a lo largo del tiempo.

  • Como \(v_{it} = c_i + u_{it}\) y \(c_i\) es constante en el tiempo, existe correlación perfecta entre \(v_{it}\) y \(v_{is}\) para un mismo individuo

  • Por eso, en la práctica POLS no es consistente si \(x_{it}\) está correlacionada con \(c_i\)

  • Para que POLS sea aplicable y consistente necesitamos:

    • \(x_{it}\) no correlacionada con \(c_i\)

    • Exogeneidad estricta y No correlación serial

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Implementación en R)

  • Utilizaremos la librería de R 'plm' (Panel Linear Models)

  • Gapminder:

    • 142 países
    • 12 períodos de observación: 1952-2007 (periodicidad de 5 años)
    • Esperanza de vida, población y PIB percapita
install.packages('pacman')
library('pacman')
p_load('causaldata',
       'plm', 
       'modelsummary')

data("gapminder", package = "causaldata")
head(gapminder)
# A tibble: 6 × 6
  country     continent  year lifeExp      pop gdpPercap
  <fct>       <fct>     <int>   <dbl>    <int>     <dbl>
1 Afghanistan Asia       1952    28.8  8425333      779.
2 Afghanistan Asia       1957    30.3  9240934      821.
3 Afghanistan Asia       1962    32.0 10267083      853.
4 Afghanistan Asia       1967    34.0 11537966      836.
5 Afghanistan Asia       1972    36.1 13079460      740.
6 Afghanistan Asia       1977    38.4 14880372      786.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Pooled OLS or POLS (Implementación en R)
  • Objeto clase pdata.frame() es un data.frame con un índice que describe sus dimensiones individual y temporal.
df_paneld <- pdata.frame(gapminder, index = c("country", "year"))

head(df_paneld)
                     country continent year lifeExp      pop gdpPercap
Afghanistan-1952 Afghanistan      Asia 1952  28.801  8425333  779.4453
Afghanistan-1957 Afghanistan      Asia 1957  30.332  9240934  820.8530
Afghanistan-1962 Afghanistan      Asia 1962  31.997 10267083  853.1007
Afghanistan-1967 Afghanistan      Asia 1967  34.020 11537966  836.1971
Afghanistan-1972 Afghanistan      Asia 1972  36.088 13079460  739.9811
Afghanistan-1977 Afghanistan      Asia 1977  38.438 14880372  786.1134

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos

Pooled OLS or POLS (Implementación en R)
  • Estimamos modelo Pooled OLS con la función plm():
# Estimación de modelos: Pooled OLS
pooled_plm <- plm(lifeExp ~ log(gdpPercap) , data = df_paneld, model = 'pooling')

summary(pooled_plm)
Pooling Model

Call:
plm(formula = lifeExp ~ log(gdpPercap), data = df_paneld, model = "pooling")

Balanced Panel: n = 142, T = 12, N = 1704

Residuals:
    Min.  1st Qu.   Median  3rd Qu.     Max. 
-32.7778  -4.2042   1.2124   4.6576  19.2849 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
(Intercept)    -9.10089    1.22767 -7.4131 1.935e-13 ***
log(gdpPercap)  8.40508    0.14876 56.5002 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    284150
Residual Sum of Squares: 98814
R-Squared:      0.65225
Adj. R-Squared: 0.65204
F-statistic: 3192.27 on 1 and 1702 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos POLS (Implementación en R)

  • Estimamos el modelo Pooled OLS con la función lm()

  • Interpretación: El coeficiente del log(gdpPercap) indica que un aumento del 1% en el PIB per cápita está asociado con un aumento de 0.0840 años (alrededor de 30.7 días) en la esperanza de vida.

# Estimación de modelos: Pooled OLS
pooled_lm <- lm(lifeExp ~ log(gdpPercap) , data = df_paneld)

summary(pooled_lm)

Call:
lm(formula = lifeExp ~ log(gdpPercap), data = df_paneld)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-32.778  -4.204   1.212   4.658  19.285 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     -9.1009     1.2277  -7.413 1.93e-13 ***
log(gdpPercap)   8.4051     0.1488  56.500  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 7.62 on 1702 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6522,    Adjusted R-squared:  0.652 
F-statistic:  3192 on 1 and 1702 DF,  p-value: < 2.2e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Implementación en R 2)

  • F. Vella and M. Verbeek (1998), “Whose Wages Do Unions Raise? A Dynamic Model of Unionism and Wage Rate Determination for Young Men”

  • Ecuación de salario a estimar es:

\[lwage_{it} = \beta_0 + \beta_1 union_{it} + \beta_2 educ_{it} + \beta_3 exper_{it} + \beta_4 exper_{it}^2 + u_{it} \]

  • \(lwage\): Logaritmo natural del salario (variable dependiente)

  • \(union\): Variable dummy que indica si el trabajador pertenece a un sindicato (1 = sí, 0 = no)

  • \(educ\): Años de educación del trabajador

  • \(exper\): Años de experiencia laboral

  • \(exper^2\): Años de experiencia laboral al cuadrado

  • Coeficiente objetivo: \(\beta_1\)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Implementación en R 2)

  • En R podemos encontrar el conjunto de datos en wooldridge como wagepan:
p_load('wooldridge', 'plm')
#Cargamos datos
data("wagepan")

#utilizamos plm para darle estructura de panel
pdata_wage <- pdata.frame(wagepan, index = c("nr", "year"))

print(pdata_wage)
            nr year agric black bus construc ent exper fin hisp poorhlth hours
13-1980     13 1980     0     0   1        0   0     1   0    0        0  2672
13-1981     13 1981     0     0   0        0   0     2   0    0        0  2320
13-1982     13 1982     0     0   1        0   0     3   0    0        0  2940
13-1983     13 1983     0     0   1        0   0     4   0    0        0  2960
13-1984     13 1984     0     0   0        0   0     5   0    0        0  3071
13-1985     13 1985     0     0   1        0   0     6   0    0        0  2864
13-1986     13 1986     0     0   1        0   0     7   0    0        0  2994
13-1987     13 1987     0     0   1        0   0     8   0    0        0  2640
17-1980     17 1980     0     0   0        0   0     4   0    0        0  2484
17-1981     17 1981     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2804
17-1982     17 1982     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2530
17-1983     17 1983     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2340
17-1984     17 1984     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2486
17-1985     17 1985     0     0   0        1   0     9   0    0        0  2164
17-1986     17 1986     0     0   0        1   0    10   0    0        0  2749
17-1987     17 1987     0     0   0        1   0    11   0    0        0  2476
18-1980     18 1980     0     0   0        0   0     4   0    0        0  2332
18-1981     18 1981     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2116
18-1982     18 1982     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2500
18-1983     18 1983     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2474
18-1984     18 1984     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2362
18-1985     18 1985     0     0   0        0   0     9   0    0        0  2340
18-1986     18 1986     0     0   0        0   0    10   0    0        0  2340
18-1987     18 1987     0     0   0        0   0    11   0    0        0  2340
45-1980     45 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0  1864
45-1981     45 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0  2021
45-1982     45 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  2274
45-1983     45 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2112
45-1984     45 1984     0     0   1        0   0     6   0    0        0  1920
45-1985     45 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2205
45-1986     45 1986     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2551
45-1987     45 1987     0     0   0        1   0     9   0    0        0  2860
110-1980   110 1980     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2080
110-1981   110 1981     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2080
110-1982   110 1982     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2639
110-1983   110 1983     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2223
110-1984   110 1984     0     0   0        0   0     9   0    0        0  2150
110-1985   110 1985     0     0   1        0   0    10   0    0        0  1532
110-1986   110 1986     0     0   0        0   0    11   1    0        0  2080
110-1987   110 1987     0     0   0        0   0    12   1    0        0  2080
120-1980   120 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0  1025
120-1981   120 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0  1496
120-1982   120 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  1394
120-1983   120 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2924
120-1984   120 1984     0     0   0        0   1     6   0    0        0  3564
120-1985   120 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  3979
120-1986   120 1986     0     0   0        0   0     8   1    0        0  4351
120-1987   120 1987     0     0   1        0   0     9   0    0        0  3568
126-1980   126 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0  3115
126-1981   126 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0  2735
126-1982   126 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  2390
126-1983   126 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2340
126-1984   126 1984     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2250
126-1985   126 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2340
126-1986   126 1986     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2941
126-1987   126 1987     0     0   0        0   0     9   0    0        0  2847
150-1980   150 1980     0     0   1        0   0     2   0    0        0  1876
150-1981   150 1981     0     0   1        0   0     3   0    0        0  2327
150-1982   150 1982     0     0   1        0   0     4   0    0        0  2006
150-1983   150 1983     0     0   1        0   0     5   0    0        0  1826
150-1984   150 1984     0     0   1        0   0     6   0    0        0  3414
150-1985   150 1985     0     0   1        0   0     7   0    0        0  3928
150-1986   150 1986     0     0   1        0   0     8   0    0        0  4000
150-1987   150 1987     0     0   1        0   0     9   0    0        0  4992
162-1980   162 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0  1874
162-1981   162 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0  1710
162-1982   162 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  1488
162-1983   162 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0   939
162-1984   162 1984     0     0   0        0   0     6   0    0        0  1980
162-1985   162 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2735
162-1986   162 1986     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2720
162-1987   162 1987     0     0   0        0   0     9   0    0        0  2795
166-1980   166 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0  1296
166-1981   166 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0  1942
166-1982   166 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  1245
166-1983   166 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0  1196
166-1984   166 1984     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2387
166-1985   166 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2160
166-1986   166 1986     0     0   0        0   0     8   0    0        0  2336
166-1987   166 1987     0     0   0        0   0     9   0    0        0  2301
189-1980   189 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0   520
189-1981   189 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0   520
189-1982   189 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0   520
189-1983   189 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0   520
189-1984   189 1984     0     0   0        0   0     6   0    0        0  1400
189-1985   189 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  1754
189-1986   189 1986     0     0   0        0   0     8   0    0        0  1840
189-1987   189 1987     0     0   0        0   0     9   0    0        0  1872
193-1980   193 1980     0     0   0        0   0     2   0    0        0   980
193-1981   193 1981     0     0   0        0   0     3   0    0        0   925
193-1982   193 1982     0     0   0        0   0     4   0    0        0  2187
193-1983   193 1983     0     0   0        0   0     5   0    0        0  2080
193-1984   193 1984     0     0   0        0   0     6   0    0        0  2346
193-1985   193 1985     0     0   0        0   0     7   0    0        0  2487
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3282-1983 3282 1983     0     0   0        0   0     6   0    1        0  2080
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          occ8 occ9 per pro pub rur south educ tra trad union        lwage d81
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996-1981    0   0   0   0   0   0       9
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2216-1981   0   0   0   0   0   0       4
2216-1982   1   0   0   0   0   0       9
2216-1983   0   1   0   0   0   0      16
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4365-1987   0   0   0   0   0   1      81
4380-1980   0   0   0   0   0   0      16
4380-1981   0   0   0   0   0   0      25
4380-1982   1   0   0   0   0   0      36
4380-1983   0   1   0   0   0   0      49
4380-1984   0   0   1   0   0   0      64
4380-1985   0   0   0   1   0   0      81
4380-1986   0   0   0   0   1   0     100
4380-1987   0   0   0   0   0   1     121
4394-1980   0   0   0   0   0   0       4
4394-1981   0   0   0   0   0   0       9
4394-1982   1   0   0   0   0   0      16
4394-1983   0   1   0   0   0   0      25
4394-1984   0   0   1   0   0   0      36
4394-1985   0   0   0   1   0   0      49
4394-1986   0   0   0   0   1   0      64
4394-1987   0   0   0   0   0   1      81
4510-1980   0   0   0   0   0   0       4
4510-1981   0   0   0   0   0   0       9
4510-1982   1   0   0   0   0   0      16
4510-1983   0   1   0   0   0   0      25
4510-1984   0   0   1   0   0   0      36
4510-1985   0   0   0   1   0   0      49
4510-1986   0   0   0   0   1   0      64
4510-1987   0   0   0   0   0   1      81
4559-1980   0   0   0   0   0   0      25
4559-1981   0   0   0   0   0   0      36
4559-1982   1   0   0   0   0   0      49
4559-1983   0   1   0   0   0   0      64
4559-1984   0   0   1   0   0   0      81
4559-1985   0   0   0   1   0   0     100
4559-1986   0   0   0   0   1   0     121
4559-1987   0   0   0   0   0   1     144
4563-1980   0   0   0   0   0   0       1
4563-1981   0   0   0   0   0   0       4
4563-1982   1   0   0   0   0   0       9
4563-1983   0   1   0   0   0   0      16
4563-1984   0   0   1   0   0   0      25
4563-1985   0   0   0   1   0   0      36
4563-1986   0   0   0   0   1   0      49
4563-1987   0   0   0   0   0   1      64
4569-1980   0   0   0   0   0   0       1
4569-1981   0   0   0   0   0   0       4
4569-1982   1   0   0   0   0   0       9
4569-1983   0   1   0   0   0   0      16
4569-1984   0   0   1   0   0   0      25
4569-1985   0   0   0   1   0   0      36
4569-1986   0   0   0   0   1   0      49
4569-1987   0   0   0   0   0   1      64
4603-1980   0   0   0   0   0   0       4
4603-1981   0   0   0   0   0   0       9
4603-1982   1   0   0   0   0   0      16
4603-1983   0   1   0   0   0   0      25
4603-1984   0   0   1   0   0   0      36
4603-1985   0   0   0   1   0   0      49
4603-1986   0   0   0   0   1   0      64
4603-1987   0   0   0   0   0   1      81
4607-1980   0   0   0   0   0   0       4
4607-1981   0   0   0   0   0   0       9
4607-1982   1   0   0   0   0   0      16
4607-1983   0   1   0   0   0   0      25
4607-1984   0   0   1   0   0   0      36
4607-1985   0   0   0   1   0   0      49
4607-1986   0   0   0   0   1   0      64
4607-1987   0   0   0   0   0   1      81
4633-1980   0   0   0   0   0   0       9
4633-1981   0   0   0   0   0   0      16
4633-1982   1   0   0   0   0   0      25
4633-1983   0   1   0   0   0   0      36
4633-1984   0   0   1   0   0   0      49
4633-1985   0   0   0   1   0   0      64
4633-1986   0   0   0   0   1   0      81
4633-1987   0   0   0   0   0   1     100
4676-1980   0   0   0   0   0   0       4
4676-1981   0   0   0   0   0   0       9
4676-1982   1   0   0   0   0   0      16
4676-1983   0   1   0   0   0   0      25
4676-1984   0   0   1   0   0   0      36
4676-1985   0   0   0   1   0   0      49
4676-1986   0   0   0   0   1   0      64
4676-1987   0   0   0   0   0   1      81
4701-1980   0   0   0   0   0   0       4
4701-1981   0   0   0   0   0   0       9
4701-1982   1   0   0   0   0   0      16
4701-1983   0   1   0   0   0   0      25
4701-1984   0   0   1   0   0   0      36
4701-1985   0   0   0   1   0   0      49
4701-1986   0   0   0   0   1   0      64
4701-1987   0   0   0   0   0   1      81
4716-1980   0   0   0   0   0   0       9
4716-1981   0   0   0   0   0   0      16
4716-1982   1   0   0   0   0   0      25
4716-1983   0   1   0   0   0   0      36
4716-1984   0   0   1   0   0   0      49
4716-1985   0   0   0   1   0   0      64
4716-1986   0   0   0   0   1   0      81
4716-1987   0   0   0   0   0   1     100
4720-1980   0   0   0   0   0   0      25
4720-1981   0   0   0   0   0   0      36
4720-1982   1   0   0   0   0   0      49
4720-1983   0   1   0   0   0   0      64
4720-1984   0   0   1   0   0   0      81
4720-1985   0   0   0   1   0   0     100
4720-1986   0   0   0   0   1   0     121
4720-1987   0   0   0   0   0   1     144
4759-1980   0   0   0   0   0   0      16
4759-1981   0   0   0   0   0   0      25
4759-1982   1   0   0   0   0   0      36
4759-1983   0   1   0   0   0   0      49
4759-1984   0   0   1   0   0   0      64
4759-1985   0   0   0   1   0   0      81
4759-1986   0   0   0   0   1   0     100
4759-1987   0   0   0   0   0   1     121
4791-1980   0   0   0   0   0   0      25
4791-1981   0   0   0   0   0   0      36
4791-1982   1   0   0   0   0   0      49
4791-1983   0   1   0   0   0   0      64
4791-1984   0   0   1   0   0   0      81
4791-1985   0   0   0   1   0   0     100
4791-1986   0   0   0   0   1   0     121
4791-1987   0   0   0   0   0   1     144
4811-1980   0   0   0   0   0   0       4
4811-1981   0   0   0   0   0   0       9
4811-1982   1   0   0   0   0   0      16
4811-1983   0   1   0   0   0   0      25
4811-1984   0   0   1   0   0   0      36
4811-1985   0   0   0   1   0   0      49
4811-1986   0   0   0   0   1   0      64
4811-1987   0   0   0   0   0   1      81
4828-1980   0   0   0   0   0   0       4
4828-1981   0   0   0   0   0   0       9
4828-1982   1   0   0   0   0   0      16
4828-1983   0   1   0   0   0   0      25
4828-1984   0   0   1   0   0   0      36
4828-1985   0   0   0   1   0   0      49
4828-1986   0   0   0   0   1   0      64
4828-1987   0   0   0   0   0   1      81
 [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 2088 rows ]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Implementación en R 2)

-Estimación por OLS en :

pooled_lm_wage <- lm(lwage ~ union+
                         educ + exper + I(exper^2) , 
                      data = wagepan)
summary(pooled_lm_wage)

Call:
lm(formula = lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2), data = wagepan)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-5.3074 -0.2583  0.0369  0.2989  2.5293 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.0904635  0.0632968  -1.429    0.153    
union        0.1734621  0.0171735  10.101  < 2e-16 ***
educ         0.1028767  0.0046288  22.225  < 2e-16 ***
exper        0.0992749  0.0100752   9.853  < 2e-16 ***
I(exper^2)  -0.0031733  0.0007127  -4.453  8.7e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.4863 on 4355 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1672,    Adjusted R-squared:  0.1665 
F-statistic: 218.6 on 4 and 4355 DF,  p-value: < 2.2e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Implementación en R 2)

  • También podemos utilizar la función plm() con el argumento pooling lo cual tomara todo como una muestra transversal.
pooled_plm_wage <- plm(lwage ~ union+
                         educ + exper + I(exper^2) , 
                      data = pdata_wage, model = "pooling")
summary(pooled_plm_wage)
Pooling Model

Call:
plm(formula = lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2), data = pdata_wage, 
    model = "pooling")

Balanced Panel: n = 545, T = 8, N = 4360

Residuals:
     Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max. 
-5.307424 -0.258340  0.036941  0.298881  2.529268 

Coefficients:
               Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.09046349  0.06329681 -1.4292     0.153    
union        0.17346211  0.01717355 10.1005 < 2.2e-16 ***
educ         0.10287667  0.00462881 22.2253 < 2.2e-16 ***
exper        0.09927495  0.01007519  9.8534 < 2.2e-16 ***
I(exper^2)  -0.00317328  0.00071269 -4.4525 8.699e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    1236.5
Residual Sum of Squares: 1029.7
R-Squared:      0.16723
Adj. R-Squared: 0.16647
F-statistic: 218.637 on 4 and 4355 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Paréntesis)

Paréntesis: Técnicas de selección de modelos

  1. Forward Selection (hacia adelante):

    • Empieza sin variables.
    • Va agregando la variable que más mejora el ajuste (según un criterio AIC, BIC, p-valor).
  2. Backward Elimination (hacia atrás):

    • Empieza con todas las variables.
    • Va eliminando la menos significativa.
  3. Stepwise (combinado):

    • Combina forward y backward.
    • Agrega y elimina variables según su contribución estadística

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Paréntesis)

Funcionamiento:

  1. Modelo inicial
    • Vacío, completo o parcial.
  2. Iteración:
    • Incluir: probar agregar una variable que no esté.
    • Eliminar: probar quitar una variable presente.
  3. Evaluar mejora usando:
    • AIC (Akaike Information Criterion) ↓
    • BIC (Bayesian Information Criterion) ↓
    • p-valores (entrada/salida)
  4. Parar cuando no hay mejoras.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Paréntesis)

En R podemos utilizar la paquetería MASS:

p_load('MASS')
# Ajustar modelo inicial con todas las variables

modelo_full <- lm(lwage ~ ., data = wagepan)

# Stepwise usando AIC
modelo_step <- stepAIC(modelo_full, direction = "forward")
Start:  AIC=-6893.39
lwage ~ nr + year + agric + black + bus + construc + ent + exper + 
    fin + hisp + poorhlth + hours + manuf + married + min + nrthcen + 
    nrtheast + occ1 + occ2 + occ3 + occ4 + occ5 + occ6 + occ7 + 
    occ8 + occ9 + per + pro + pub + rur + south + educ + tra + 
    trad + union + d81 + d82 + d83 + d84 + d85 + d86 + d87 + 
    expersq
table_sum <- summary(modelo_step)$coefficients

dim(table_sum)
[1] 41  4

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Pooled OLS or POLS (Paréntesis)

Consideraciones

  • Riesgo de sobreajuste (overfitting): si se usan muchos predictores y pocos datos.

  • Ignora el contexto teórico: puede eliminar variables importantes desde el punto de vista sustantivo.

  • Inestabilidad: pequeños cambios en los datos pueden producir modelos distintos.

  • No garantiza encontrar el modelo verdadero, solo uno “óptimo” según el criterio elegido.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Interpretación)

Recordando interpretación de coeficientes

  • Lin-Log (Nivel-Log)

\[Y = \beta_0 + \beta_1ln(X) + u \]

Un incremento de 1% en \(X\) está asociado con un cambio de \(\frac{\beta_1}{100}\) unidades en \(Y\)

  • Log - Lin(Log-Nivel)

\[ ln(Y) = \beta_0 + \beta_1X + u \]

Un cambio de una unidad en \(X\) está asociado con un incremento de \(\beta_1\) unidades en \(\ln(Y)\)

  • Para ser más preciso: el cambio porcentual en \(Y\) es \((e^{\beta_1} - 1) \times 100%\)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: POLS (Interpretación)

  • Interpretación \(\beta_1\) el cual corresponde a la variable de asociación a sindicato:

Estar afiliado a un sindicato se asocia con un incremento promedio de 18.94% unidades en la variable dependiente, manteniendo constantes las demás variables.

Variable Coeficiente Interpretación breve
(Intercept) -0.0905 Valor base del log salario cuando todo es 0.
union 0.1735 Estar en sindicato aumenta el salario ~17%.
educ 0.1029 Cada año extra de educación sube el salario ~10%.
exper 0.0993 Cada año extra de experiencia aumenta el salario ~9.9%.
I(exper^2) -0.00317 El efecto de la experiencia disminuye con más años.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (¿Cómo funciona? )

Dado que el modelo POLS no logra controlar efectos individuales no observado que son constantes buscaremos otro métodos que lo hagan.

Efectos fijos (FE) es un método que se enfoca en la variación dentro de cada individuo a lo largo del tiempo (within), eliminando la variación entre individuos (between).

  • Controla por individuo/agente/observación (persona, empresa, países, escuelas, hospitales, etc)

    • Variación within: la variación dentro de cada indiviudo a través de multiples períodos de tiempo. (Ej.: cómo cambia el salario de una persona a lo largo de los años).

    • Variación between: variación de una carácterística entre inviduos en un período de tiempo o en el promedio de diferentes períodos. (Ej.: comparar el salario promedio de dos personas diferentes).

Modelos Lineales con Datos Panel: Fixed Effects (¿Cómo funciona? ) Estáticos

Ejemplo de variación within

Nombre Año Días de ejercicio Media individual (mean) Within
Diego 2019 160 130 +30
Diego 2020 100 130 -30
Raúl 2019 150 145 +5
Raúl 2020 140 145 -5

Modelos Lineales con Datos Panel: Fixed Effects (¿Cómo funciona? ) Estáticos

Interpretación

Variación within:

  • Representa cuánto difiere la observación de un individuo en un año específico respecto a su promedio personal.

  • Para Diego en 2019, la variación within es +30 días, es decir, 30 días más que su promedio (130 días).

  • En 2020, Diego tiene -30 días, es decir, 30 días menos que su promedio.

Variación between:

  • En este caso, la diferencia de medias entre Diego (130 días) y Raul (145 días) es de 15 días.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (¿Cómo lo implementamos? )

El método de Efectos Fijos o Efectos Within busca controlar efectos no observados constantes en el tiempo. como lo son las características individuales no medidas.

  • Para ello utiliza la técnica de demeaning o transformación within.

  • Resta la media individual a cada variable \(x_i\)

Método de transformación de efecto fijo o absorción del efecto fijo (absorbing fixed effect)

  • Teniendo al menos dos períodos de tiempo obtenemos el promedio de la ecuación de POLS:

\[ y_{it}= \textbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta} + c_{i}+ u_{it} ~~~t=1,2,...T\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (¿Cómo lo implementamos? )

Obtenemos:

\[\bar{y}_{i} = {\bar{x}_{i}}\beta + c_i + \bar{u}_{i}\]

  • Substrayendo la ecuación de medias de POLS:

\[ y_{it} - \bar{y}_{i} = (\textbf{x}_{it}-\mathbf{\bar{x}_{i}}) \boldsymbol{\beta} + c_{i} - c_{i}+ u_{it} - \bar{u}_{i}\]

\[ y_{it} - \bar{y}_{i} = (\textbf{x}_{it}-\mathbf{\bar{x}_{i}})\boldsymbol{\beta} + u_{it} - \bar{u}_{i}\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (¿Cómo lo implementamos? )

  • Podemos representar la ecuación transformado de efectos fijos de la siguiente forma:

\[ \ddot{y}_{it} = \mathbf{\ddot{x}_{it}}\boldsymbol{\beta} + \ddot{u}_{it} ~~~t=1,2,...T \] Donde:

\[ \ddot{y}_{it} \equiv y_{it} - \bar{y}_{i}\] \[ \mathbf{\ddot{x}_{it}} \equiv \textbf{x}_{it} - \mathbf{\bar{x}_{i}}\] \[ \ddot{u}_{it} \equiv u{it} - \bar{u}_{i}\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (¿Cómo lo implementamos? )

La transformación within elimina todo lo que es constante en el tiempo para cada individuo.

  • Trabaja únicamente con la variación temporal de cada individuo, lo que garantiza que la estimación de \(\beta\) de interés no esté sesgada por características no observadas y constantes en el tiempo.

  • En otras palabras, el estimador de efectos fijos “controla” por todo aquello que no cambia para un individuo, aunque no lo midamos explícitamente.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Supuestos)

  • FE.1 Exogeneidad estricta: \[E( \ddot{u}_{it}| \mathbf{{x}_{i}} ) = E( {u}_{it}| \mathbf{{x}_{i}} ) -E( \bar{u}_{it}| \mathbf{{x}_{i}} ) = 0\] Lo cual implica que:

    \[E( \ddot{u}_{it}| \mathbf{\ddot{x}_{i1}},..., \mathbf{\ddot{x}_{iT}} ) = 0\] Dado que \(\mathbf{\ddot{x}_{it}}\) es una función de:

\[ \mathbf{{x}_{i}}= ( \mathbf{{x}_{i1},... \mathbf{{x}_{iT}} } ) \]

  • Satisface la condición de expectativa condicional 0.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Supuestos)

  • En FE se permite arbitrariamente que:

\[E( \textbf{x}_{i}'| c_{i}) \neq 0\]

Es decir, se permite que las variables omitidas estén correlacionadas con las variables observadas \(\textbf{x}_{it}\)

  • Dado lo anterior, no se podrá disntinguir el efecto de las \(\textbf{c}_{i}\) y de las variables constantes observables \(\textbf{x}_{t}\), por lo tanto no se incluyen regresores constantes en el tiempo.

  • A nivel individual variables como el sexo o grupo étnico; a nivel empresa la industria; a nivel ciudad la distancia con un río o el clima.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Precisión en supuestos)

Diferencia entre supuesto condicional y no condicional

  1. Condicional \(E(\mathbf{x}_i' \mid c_i) = 0\): supuesto de independencia estricta respecto a efectos no observados

    • Lectura: el valor esperado de \(\mathbf{x}_i'\) dado \(c_i\) es cero

    • Interpretación: Para cualquier valor posible de \(c_i\) la media \(\mathbf{x}_i'\) es cero

  2. No condicional \(E( c_i \mathbf{x}_i') =0\):

    • Lectura: el valor esperado del producto \(\mathbf{x}_i'c_i\) es cero

    • Interpretación: Permite que \(c_i\) y \(\mathbf{x}_i\) están correlacionados dentro de ciertos grupos, siempre que esas correlaciones positivas y negativas se compensen al promediar (no hay correlación en media)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Efectos Fijos (Fixed Effects) (Supuestos)

  • Condicional: independencia media dentro de cada grupo definido por Muy fuerte y útil para modelos de efectos aleatorios o independencia estricta.

  • No condicional:independencia media en toda la población. Más débil y no garantiza ausencia de sesgo.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Supuestos)

FE2. No multicolinealidad (no hay dependencia lineal exacta):

\[ rank[\sum_{t=1}^{T}E( \mathbf{\ddot{x}_{it}}' \mathbf{\ddot{x}_{it}})] = K \] - Si \(\mathbf{{x}_{it}}\) contiene alguna variable que no cambie en el tiempo para cada \(i\), entonces \(\mathbf{\ddot{x}_{it}}\) será igual a 0 en cada período.

  • No permite la inclusión de variables constantes en el tiempo en su estimación como el sexo o variables geográficas.

  • Columna de ceros viola este supuesto, porque no hay información dentro del individuo para estimar el coeficiente.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Supuestos)

FE3. Eficiencia del estimador FE

\[\mathbf{E}(\mathbf{u}_i \mathbf{u}_i' \mid \mathbf{x}_i, c_i) = \sigma_u^2 \mathbf{I}_T\]

  1. Varianza constante: los errores idiosincráticos \(u_{it}\) tienen varianza constante en todos los periodos \(t\) para cada individuo \(i\).

  2. No autocorrelación: los errores idiosincráticos son independientes a lo largo del tiempo (no hay correlación serial).

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Supuestos)

  • FE.3 puede ser equivalentea RE.3 en Random Effects:

    1. Si FE.1 se cumple \(\mathbf{E}(\mathbf{u}_i \mid \mathbf{x}_i, c_i) = 0\)

    2. La esperanza incondicional es igual a la condicional \(\mathbf{E}(\mathbf{u}_i \mathbf{u}_i' \mid \mathbf{x}_i, c_i) =\mathbf{E}(\mathbf{u}_i \mathbf{u}_i' )\)

    3. Tendrá la forma de \(\sigma_u^2 I_T\).

  • Sin embargo, no es necesariamente el más eficiente, porque FE.1 no impone restricciones sobre la varianza-covarianza de los errores.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Estimador)

  • El estimador within se representa como: \[ \hat\beta_{FE} = ( \sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \mathbf{\ddot{x}_{it}}' \mathbf{\ddot{x}_{it}})^{-1} (\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} \mathbf{\ddot{x}_{it}}' \ddot{y}_{it}) \]

  • Por FE.1 y por FE.2 (versión de muestra finita) el estimador \(\boldsymbol{\hat\beta}_{FE}\) es insesgado.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Ejemplo)

\[ Esperanza_{it} =\beta_i + log(PIBpercap)_{it}\beta_1 + u_{it}\]

  • Controlar por cada individuo permitiendo que el intercepto cambie para cada \(i\)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Ejemplo)

  • Tendremos un \(\beta_{Mexico}\), \(\beta_{Argentina}\) y \(\beta_{Turkey}\)
# A tibble: 1,704 × 6
   country     continent  year lifeExp      pop gdpPercap
   <fct>       <fct>     <int>   <dbl>    <int>     <dbl>
 1 Afghanistan Asia       1952    28.8  8425333      779.
 2 Afghanistan Asia       1957    30.3  9240934      821.
 3 Afghanistan Asia       1962    32.0 10267083      853.
 4 Afghanistan Asia       1967    34.0 11537966      836.
 5 Afghanistan Asia       1972    36.1 13079460      740.
 6 Afghanistan Asia       1977    38.4 14880372      786.
 7 Afghanistan Asia       1982    39.9 12881816      978.
 8 Afghanistan Asia       1987    40.8 13867957      852.
 9 Afghanistan Asia       1992    41.7 16317921      649.
10 Afghanistan Asia       1997    41.8 22227415      635.
# ℹ 1,694 more rows

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Fixed Effects (Implementación en R)

  • Primero lo primero: Absorción o extracción de efecto fijo
p_load('tidyverse')

df_gapmind <- causaldata::gapminder

#Substracción de media a esperanza de vida y log percapita
df_gapmind  <- df_gapmind  |> 
               mutate(log_PIBper = log(gdpPercap)) |> 
               group_by(country) |> 
               mutate(#media esperanza de vida
                      life_exp_aver = mean(lifeExp),
                      #Esperanza de vida within
                      lifeExp_within = lifeExp - mean(lifeExp),
                      #media log(pib_percapita)
                      log_PIBper_mean = mean(log_PIBper) , 
                      #PIB within
                      log_PIBper_within = log_PIBper  - mean(log_PIBper )) |>  
               
               ungroup() |> 
               arrange(country)

head(df_gapmind)
# A tibble: 6 × 11
  country     continent  year lifeExp     pop gdpPercap log_PIBper life_exp_aver
  <fct>       <fct>     <int>   <dbl>   <int>     <dbl>      <dbl>         <dbl>
1 Afghanistan Asia       1952    28.8  8.43e6      779.       6.66          37.5
2 Afghanistan Asia       1957    30.3  9.24e6      821.       6.71          37.5
3 Afghanistan Asia       1962    32.0  1.03e7      853.       6.75          37.5
4 Afghanistan Asia       1967    34.0  1.15e7      836.       6.73          37.5
5 Afghanistan Asia       1972    36.1  1.31e7      740.       6.61          37.5
6 Afghanistan Asia       1977    38.4  1.49e7      786.       6.67          37.5
# ℹ 3 more variables: lifeExp_within <dbl>, log_PIBper_mean <dbl>,
#   log_PIBper_within <dbl>

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos Fixed Effects (Implementación en R)

  • Estimamos modelo de efectos fijos transformados por OLS
m_FE1 <- lm(lifeExp_within ~ log_PIBper_within, data = df_gapmind)

summary(m_FE1)

Call:
lm(formula = lifeExp_within ~ log_PIBper_within, data = df_gapmind)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-19.6545  -2.6950   0.0131   2.9139  16.2962 

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)       -4.453e-17  1.227e-01     0.0        1    
log_PIBper_within  9.769e+00  2.840e-01    34.4   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.063 on 1702 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4101,    Adjusted R-squared:  0.4098 
F-statistic:  1183 on 1 and 1702 DF,  p-value: < 2.2e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Implementación en R)

  • Estimamos modelo de FE con función plm
p_load('wooldridge', 'causaldata', 'plm')

#Convertimos a panel df 
df_pdata <- pdata.frame(df_gapmind , index = c("country", "year"))


#Modelo FE con plm
m_FE2 <- plm(lifeExp ~ log_PIBper , data = df_pdata , model = "within",  effect = 'individual')

summary(m_FE2)
Oneway (individual) effect Within Model

Call:
plm(formula = lifeExp ~ log_PIBper, data = df_pdata, effect = "individual", 
    model = "within")

Balanced Panel: n = 142, T = 12, N = 1704

Residuals:
      Min.    1st Qu.     Median    3rd Qu.       Max. 
-19.654463  -2.694991   0.013099   2.913864  16.296193 

Coefficients:
           Estimate Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
log_PIBper  9.76896    0.29653  32.944 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    73973
Residual Sum of Squares: 43635
R-Squared:      0.41012
Adj. R-Squared: 0.35646
F-statistic: 1085.29 on 1 and 1561 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (con Dummy)

  • Otra forma de implementarlo: Dummy por cada país

\[{y_{it} = \alpha + \beta x_{it} + \gamma_1 D_{USA} + \gamma_2 D_{Mexico} + \dots + u_{it}}\]

Captura todos los efectos fijos constantes del país.

  • Requiere una categoría base para evitar colinealidad.

Desventaja: si hay muchas observaciones, el número de dummies crece demasiado y el modelo pesado y poco eficiente.

Transformation within: Más eficiente con muchos individuos/países, evita problemas de colinealidad, y se centra en la variación within, que es la que nos interesa para estimar \(\beta\).

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos:Fixed Effects (con Dummy en R)

  • En R utilizamos la función factor() para incluir cad país como dummy:
m_FE3 <- lm(lifeExp ~ factor(country) +  log_PIBper, data = df_gapmind)
summary(m_FE3)

Call:
lm(formula = lifeExp ~ factor(country) + log_PIBper, data = df_gapmind)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-19.6545  -2.6950   0.0131   2.9139  16.2962 

Coefficients:
                                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)                             -27.7735     2.5005 -11.107  < 2e-16
factor(country)Albania                   17.7826     2.1952   8.101 1.09e-15
factor(country)Algeria                    5.2411     2.2145   2.367 0.018069
factor(country)Angola                   -13.9071     2.2017  -6.316 3.48e-10
factor(country)Argentina                  8.1322     2.2728   3.578 0.000357
factor(country)Australia                  6.4003     2.3520   2.721 0.006577
factor(country)Austria                    5.1559     2.3482   2.196 0.028264
factor(country)Bahrain                   -1.9682     2.3438  -0.840 0.401179
factor(country)Bangladesh                12.4011     2.1584   5.745 1.10e-08
factor(country)Belgium                    5.6169     2.3492   2.391 0.016920
factor(country)Benin                      7.7450     2.1611   3.584 0.000349
factor(country)Bolivia                    2.3380     2.1925   1.066 0.286434
factor(country)Bosnia and Herzegovina    17.3528     2.1935   7.911 4.80e-15
factor(country)Botswana                   3.1522     2.1997   1.433 0.152050
factor(country)Brazil                     6.3181     2.2299   2.833 0.004665
factor(country)Bulgaria                  12.6702     2.2389   5.659 1.81e-08
factor(country)Burkina Faso               6.8580     2.1585   3.177 0.001516
factor(country)Burundi                   12.6464     2.1644   5.843 6.24e-09
factor(country)Cambodia                  12.9167     2.1598   5.981 2.75e-09
factor(country)Cameroon                   3.0620     2.1707   1.411 0.158559
factor(country)Canada                     5.4647     2.3664   2.309 0.021059
factor(country)Central African Republic   4.7576     2.1590   2.204 0.027698
factor(country)Chad                       5.7370     2.1611   2.655 0.008020
factor(country)Chile                      9.9150     2.2425   4.421 1.05e-05
factor(country)China                     21.2712     2.1604   9.846  < 2e-16
factor(country)Colombia                  10.9197     2.2091   4.943 8.52e-07
factor(country)Comoros                   10.2055     2.1631   4.718 2.60e-06
factor(country)Congo, Dem. Rep.          10.0249     2.1603   4.640 3.77e-06
factor(country)Congo, Rep.                1.3751     2.1978   0.626 0.531627
factor(country)Costa Rica                14.5522     2.2276   6.533 8.73e-11
factor(country)Cote d'Ivoire              2.5978     2.1733   1.195 0.232140
factor(country)Croatia                    9.4630     2.2696   4.169 3.22e-05
factor(country)Cuba                      13.5129     2.2426   6.025 2.10e-09
factor(country)Czech Republic             6.5554     2.3140   2.833 0.004671
factor(country)Denmark                    5.3450     2.3613   2.264 0.023738
factor(country)Djibouti                  -2.8341     2.1876  -1.296 0.195336
factor(country)Dominican Republic        12.5829     2.1865   5.755 1.04e-08
factor(country)Ecuador                    6.3606     2.2340   2.847 0.004469
factor(country)Egypt                      6.5774     2.1899   3.003 0.002712
factor(country)El Salvador                5.5348     2.2166   2.497 0.012628
factor(country)Equatorial Guinea          1.0619     2.1626   0.491 0.623481
factor(country)Eritrea                   12.7109     2.1622   5.879 5.05e-09
factor(country)Ethiopia                  11.5290     2.1628   5.331 1.12e-07
factor(country)Finland                    6.4773     2.3315   2.778 0.005531
factor(country)France                     6.9102     2.3422   2.950 0.003222
factor(country)Gabon                    -11.4293     2.2897  -4.992 6.66e-07
factor(country)Gambia                     8.5989     2.1590   3.983 7.13e-05
factor(country)Germany                    5.0641     2.3535   2.152 0.031569
factor(country)Ghana                     12.2924     2.1599   5.691 1.50e-08
factor(country)Greece                     9.8322     2.3026   4.270 2.07e-05
factor(country)Guatemala                  3.7542     2.2091   1.699 0.089435
factor(country)Guinea                     6.1635     2.1585   2.855 0.004354
factor(country)Guinea-Bissau              4.0586     2.1596   1.879 0.060383
factor(country)Haiti                      5.8666     2.1683   2.706 0.006893
factor(country)Honduras                   8.1544     2.1904   3.723 0.000204
factor(country)Hong Kong, China           9.6640     2.3019   4.198 2.84e-05
factor(country)Hungary                    6.9008     2.2881   3.016 0.002603
factor(country)Iceland                    8.3929     2.3503   3.571 0.000366
factor(country)India                     13.9706     2.1591   6.471 1.30e-10
factor(country)Indonesia                 10.6745     2.1666   4.927 9.24e-07
factor(country)Iran                       0.2559     2.2498   0.114 0.909452
factor(country)Iraq                      -1.8960     2.2506  -0.842 0.399678
factor(country)Ireland                    8.5358     2.3088   3.697 0.000226
factor(country)Israel                     9.3947     2.3064   4.073 4.87e-05
factor(country)Italy                      8.4601     2.3206   3.646 0.000275
factor(country)Jamaica                   11.5001     2.2403   5.133 3.21e-07
factor(country)Japan                      9.2015     2.3214   3.964 7.71e-05
factor(country)Jordan                     9.4722     2.1933   4.319 1.67e-05
factor(country)Kenya                     11.3351     2.1616   5.244 1.79e-07
factor(country)Korea, Dem. Rep.          15.6495     2.1818   7.173 1.13e-12
factor(country)Korea, Rep.                9.4547     2.2270   4.245 2.31e-05
factor(country)Kuwait                   -10.3442     2.5036  -4.132 3.79e-05
factor(country)Lebanon                    7.0391     2.2536   3.123 0.001820
factor(country)Lesotho                   13.9758     2.1589   6.474 1.28e-10
factor(country)Liberia                    7.8041     2.1601   3.613 0.000312
factor(country)Libya                     -2.9242     2.2854  -1.279 0.200913
factor(country)Madagascar                 5.4748     2.1634   2.531 0.011483
factor(country)Malawi                     9.2660     2.1609   4.288 1.91e-05
factor(country)Malaysia                  10.3093     2.2157   4.653 3.55e-06
factor(country)Mali                       7.8890     2.1593   3.654 0.000267
factor(country)Mauritania                 9.9067     2.1636   4.579 5.05e-06
factor(country)Mauritius                 11.6102     2.2115   5.250 1.73e-07
factor(country)Mexico                     6.4046     2.2552   2.840 0.004571
factor(country)Mongolia                  11.7578     2.1679   5.424 6.76e-08
factor(country)Montenegro                12.1100     2.2481   5.387 8.27e-08
factor(country)Morocco                    9.5733     2.1821   4.387 1.23e-05
factor(country)Mozambique                 6.8808     2.1618   3.183 0.001487
factor(country)Myanmar                   22.1428     2.1669  10.219  < 2e-16
factor(country)Namibia                    1.2264     2.2046   0.556 0.578096
factor(country)Nepal                     11.9117     2.1585   5.519 4.00e-08
factor(country)Netherlands                6.6905     2.3605   2.834 0.004651
factor(country)New Zealand                6.7521     2.3398   2.886 0.003959
factor(country)Nicaragua                  7.0148     2.1990   3.190 0.001451
factor(country)Niger                      7.4817     2.1585   3.466 0.000542
factor(country)Nigeria                    0.2362     2.1658   0.109 0.913182
factor(country)Norway                     5.2662     2.3808   2.212 0.027116
factor(country)Oman                      -2.6950     2.2748  -1.185 0.236298
factor(country)Pakistan                  12.5242     2.1635   5.789 8.55e-09
factor(country)Panama                    11.7063     2.2312   5.247 1.76e-07
factor(country)Paraguay                  16.0615     2.1957   7.315 4.10e-13
factor(country)Peru                       2.4684     2.2335   1.105 0.269261
factor(country)Philippines               13.9677     2.1777   6.414 1.87e-10
factor(country)Poland                    10.3117     2.2629   4.557 5.60e-06
factor(country)Portugal                   8.6700     2.2807   3.801 0.000149
factor(country)Puerto Rico               11.2107     2.2786   4.920 9.56e-07
factor(country)Reunion                   11.9001     2.2212   5.358 9.69e-08
factor(country)Romania                    9.7631     2.2510   4.337 1.54e-05
factor(country)Rwanda                     5.8015     2.1591   2.687 0.007287
factor(country)Sao Tome and Principe     15.2824     2.1641   7.062 2.46e-12
factor(country)Saudi Arabia              -9.3738     2.3495  -3.990 6.92e-05
factor(country)Senegal                    6.7647     2.1671   3.122 0.001832
factor(country)Serbia                     7.8708     2.2704   3.467 0.000541
factor(country)Sierra Leone              -3.2832     2.1599  -1.520 0.128685
factor(country)Singapore                  7.7617     2.2980   3.378 0.000749
factor(country)Slovak Republic            8.6514     2.2836   3.788 0.000157
factor(country)Slovenia                   7.2443     2.3075   3.139 0.001724
factor(country)Somalia                    0.1222     2.1609   0.057 0.954926
factor(country)South Africa              -4.9006     2.2542  -2.174 0.029857
factor(country)Spain                     10.4524     2.3011   4.542 5.99e-06
factor(country)Sri Lanka                 21.7701     2.1697  10.034  < 2e-16
factor(country)Sudan                      2.8876     2.1722   1.329 0.183920
factor(country)Swaziland                 -1.1013     2.1922  -0.502 0.615473
factor(country)Sweden                     7.9883     2.3511   3.398 0.000697
factor(country)Switzerland                3.9627     2.3941   1.655 0.098084
factor(country)Syria                     11.3248     2.1918   5.167 2.69e-07
factor(country)Taiwan                    12.7718     2.2429   5.694 1.48e-08
factor(country)Tanzania                   9.8807     2.1585   4.578 5.08e-06
factor(country)Thailand                  14.4358     2.1809   6.619 4.95e-11
factor(country)Togo                      10.6459     2.1609   4.927 9.25e-07
factor(country)Trinidad and Tobago        7.9716     2.2539   3.537 0.000417
factor(country)Tunisia                   10.1077     2.1950   4.605 4.46e-06
factor(country)Turkey                     6.3521     2.2115   2.872 0.004130
factor(country)Uganda                    10.0855     2.1584   4.673 3.23e-06
factor(country)United Kingdom             5.9090     2.3490   2.516 0.011986
factor(country)United States              2.4768     2.3863   1.038 0.299453
factor(country)Uruguay                   12.1379     2.2520   5.390 8.14e-08
factor(country)Venezuela                  4.3883     2.2851   1.920 0.054991
factor(country)Vietnam                   18.6392     2.1588   8.634  < 2e-16
factor(country)West Bank and Gaza         8.6575     2.2010   3.933 8.74e-05
factor(country)Yemen, Rep.                3.4847     2.1657   1.609 0.107806
factor(country)Zambia                     3.4400     2.1639   1.590 0.112107
factor(country)Zimbabwe                  17.5924     2.1597   8.146 7.64e-16
log_PIBper                                9.7690     0.2965  32.944  < 2e-16
                                           
(Intercept)                             ***
factor(country)Albania                  ***
factor(country)Algeria                  *  
factor(country)Angola                   ***
factor(country)Argentina                ***
factor(country)Australia                ** 
factor(country)Austria                  *  
factor(country)Bahrain                     
factor(country)Bangladesh               ***
factor(country)Belgium                  *  
factor(country)Benin                    ***
factor(country)Bolivia                     
factor(country)Bosnia and Herzegovina   ***
factor(country)Botswana                    
factor(country)Brazil                   ** 
factor(country)Bulgaria                 ***
factor(country)Burkina Faso             ** 
factor(country)Burundi                  ***
factor(country)Cambodia                 ***
factor(country)Cameroon                    
factor(country)Canada                   *  
factor(country)Central African Republic *  
factor(country)Chad                     ** 
factor(country)Chile                    ***
factor(country)China                    ***
factor(country)Colombia                 ***
factor(country)Comoros                  ***
factor(country)Congo, Dem. Rep.         ***
factor(country)Congo, Rep.                 
factor(country)Costa Rica               ***
factor(country)Cote d'Ivoire               
factor(country)Croatia                  ***
factor(country)Cuba                     ***
factor(country)Czech Republic           ** 
factor(country)Denmark                  *  
factor(country)Djibouti                    
factor(country)Dominican Republic       ***
factor(country)Ecuador                  ** 
factor(country)Egypt                    ** 
factor(country)El Salvador              *  
factor(country)Equatorial Guinea           
factor(country)Eritrea                  ***
factor(country)Ethiopia                 ***
factor(country)Finland                  ** 
factor(country)France                   ** 
factor(country)Gabon                    ***
factor(country)Gambia                   ***
factor(country)Germany                  *  
factor(country)Ghana                    ***
factor(country)Greece                   ***
factor(country)Guatemala                .  
factor(country)Guinea                   ** 
factor(country)Guinea-Bissau            .  
factor(country)Haiti                    ** 
factor(country)Honduras                 ***
factor(country)Hong Kong, China         ***
factor(country)Hungary                  ** 
factor(country)Iceland                  ***
factor(country)India                    ***
factor(country)Indonesia                ***
factor(country)Iran                        
factor(country)Iraq                        
factor(country)Ireland                  ***
factor(country)Israel                   ***
factor(country)Italy                    ***
factor(country)Jamaica                  ***
factor(country)Japan                    ***
factor(country)Jordan                   ***
factor(country)Kenya                    ***
factor(country)Korea, Dem. Rep.         ***
factor(country)Korea, Rep.              ***
factor(country)Kuwait                   ***
factor(country)Lebanon                  ** 
factor(country)Lesotho                  ***
factor(country)Liberia                  ***
factor(country)Libya                       
factor(country)Madagascar               *  
factor(country)Malawi                   ***
factor(country)Malaysia                 ***
factor(country)Mali                     ***
factor(country)Mauritania               ***
factor(country)Mauritius                ***
factor(country)Mexico                   ** 
factor(country)Mongolia                 ***
factor(country)Montenegro               ***
factor(country)Morocco                  ***
factor(country)Mozambique               ** 
factor(country)Myanmar                  ***
factor(country)Namibia                     
factor(country)Nepal                    ***
factor(country)Netherlands              ** 
factor(country)New Zealand              ** 
factor(country)Nicaragua                ** 
factor(country)Niger                    ***
factor(country)Nigeria                     
factor(country)Norway                   *  
factor(country)Oman                        
factor(country)Pakistan                 ***
factor(country)Panama                   ***
factor(country)Paraguay                 ***
factor(country)Peru                        
factor(country)Philippines              ***
factor(country)Poland                   ***
factor(country)Portugal                 ***
factor(country)Puerto Rico              ***
factor(country)Reunion                  ***
factor(country)Romania                  ***
factor(country)Rwanda                   ** 
factor(country)Sao Tome and Principe    ***
factor(country)Saudi Arabia             ***
factor(country)Senegal                  ** 
factor(country)Serbia                   ***
factor(country)Sierra Leone                
factor(country)Singapore                ***
factor(country)Slovak Republic          ***
factor(country)Slovenia                 ** 
factor(country)Somalia                     
factor(country)South Africa             *  
factor(country)Spain                    ***
factor(country)Sri Lanka                ***
factor(country)Sudan                       
factor(country)Swaziland                   
factor(country)Sweden                   ***
factor(country)Switzerland              .  
factor(country)Syria                    ***
factor(country)Taiwan                   ***
factor(country)Tanzania                 ***
factor(country)Thailand                 ***
factor(country)Togo                     ***
factor(country)Trinidad and Tobago      ***
factor(country)Tunisia                  ***
factor(country)Turkey                   ** 
factor(country)Uganda                   ***
factor(country)United Kingdom           *  
factor(country)United States               
factor(country)Uruguay                  ***
factor(country)Venezuela                .  
factor(country)Vietnam                  ***
factor(country)West Bank and Gaza       ***
factor(country)Yemen, Rep.                 
factor(country)Zambia                      
factor(country)Zimbabwe                 ***
log_PIBper                              ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 5.287 on 1561 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8464,    Adjusted R-squared:  0.8325 
F-statistic: 60.59 on 142 and 1561 DF,  p-value: < 2.2e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effect (Interpretación)

  • Vemos que el coeficiente del logarítmo del PIB per capita es FE: 9.769 y en POLS: 8.40

  • Interpretación: El coeficiente del log(gdpPercap) indica que un aumento del 1% en el PIB per cápita está asociado con un aumento de 0.09769 años (alrededor de 35.6 días) en la esperanza de vida.

  • Si el intercepto de México es 6.40 y el de Brasil es 6.3181, podemos decir que si México y Brasil tuvieran el mismo PIB per capita, la esperanza de vida en México podría ser 0.09 más alta.

Consideración importante: “Tener en cuenta que los efectos fijos son una buena forma de controlar una larga lista de variables no observadas constantes en el tiempo para observar el efecto de una o unas pocas variables” - Nick Huntington-Klein

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (R-squared within)

R-squared within

  • Mide cuánto de la variación dentro de cada individuo \(i\) a lo largo del tiempo es explicado por el modelo.

  • Aquí estamos quitando la variación entre individuos, centrándonos solo en cambios internos.

\[ R^2_{\text{within}} = 1 - \frac{RSS_i}{TSS_i} = 1 - \frac{\sum_{it} (y_{it} - \hat{y}_{it})^2}{\sum_{it} (y_{it} - \bar{y}_i)^2} \]

Interpretación: “¿Cuánto cambian los valores dentro de cada unidad y es explicado por X?”

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Prueba F)

#### R-sq Within ----

df_gapmind <- df_gapmind |>
               mutate(residuos =  residuals(m_FE2) ,
                      life_exp_fit = fitted(m_FE2))

# r2 = 1 - (rss/tss)
r2_within <- 1 - sum(df_gapmind$residuos^2) / sum(df_gapmind$lifeExp_within^2) 
print(r.squared(m_FE2))
[1] 0.4101187

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Prueba F)

Prueba F: Pooled vs FE

Evalúa si existen diferencias significativas entre las unidades en sus niveles constantes a lo largo del tiempo.

  • En términos estadísticos la prueba F, está probando si los efectos individuales (interceptos) son todos iguales en cada \(i\) o si al menos uno es distinto.

Hipótesis

  • \(H_0\): \(\beta_{i} = 0\) → No hay diferencias individuales (Pooled OLS adecuado).
  • \(H_1\): \(\beta_{i} \neq 0\) → Hay al menos un efecto fijo (FE adecuado).

Interpretación: si se rechaza \(H_0\) (p-valor < 0.05), existe al menos un efecto no observado individual significativo. Por lo tanto el modelo de FE es adecuado.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Fixed Effects (Prueba F)

  • Utilizamos la función pFtest() de la paquetería plm

Sintáxis: pFtest(modelo FE, modelo pooled,)

#Datos
df_paneld <- pdata.frame(gapminder, index = c("country", "year"))

#Pooled
pooled_plm <- plm(lifeExp ~ log(gdpPercap) , data = df_paneld, model = 'pooling')
#FE
m_FE2 <- plm(lifeExp ~ log_PIBper , data = df_pdata  , model = "within", effect = 'individual')

# Test F para efectos individuales (Pooled vs EF)
f_test <- pFtest(m_FE2,pooled_plm)

print(f_test)

    F test for individual effects

data:  lifeExp ~ log_PIBper
F = 14, df1 = 141, df2 = 1561, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos :Fixed Effects (Ejemplo 2)

  • Continuamos con la función de salarios la cual será estimada por el método de FE:

\[ log(wage)_{it} =\beta_i + union_{it}\beta_1 + educ_{it}\beta_2 + exp_{it}\beta_3 + exp^2_{it}\beta_4 + u_{it} \]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos :Fixed Effects (Ejemplo 2)

  • Para estimar por FE en la función plm() tenemos que cambiar el argumento model = 'within' y los demás argumento permanecen iguales que en el POLS

  • El estimador FE también es conocido como within

library(pacman)
p_load('wooldridge', 'plm', "modelsummary")
data("wagepan")
#Data
pdata_wage <- pdata.frame(wagepan, index = c("nr", "year"))
#Pooled
pooled_plm_wage <- plm(lwage ~  union + educ + exper + I(exper^2) , data = pdata_wage, model = 'pooling')
#Efectos Fijos
FE_plm_wage <- plm(lwage ~  union + educ + exper + I(exper^2) , 
                      data = pdata_wage, model = "within", effect = 'individual')

summary(FE_plm_wage)
Oneway (individual) effect Within Model

Call:
plm(formula = lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2), data = pdata_wage, 
    effect = "individual", model = "within")

Balanced Panel: n = 545, T = 8, N = 4360

Residuals:
     Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max. 
-4.175074 -0.124834  0.008003  0.158338  1.487799 

Coefficients:
              Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
union       0.08333385  0.01929709  4.3185 1.611e-05 ***
exper       0.12193311  0.00817035 14.9238 < 2.2e-16 ***
I(exper^2) -0.00448202  0.00060123 -7.4547 1.109e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    572.05
Residual Sum of Squares: 470.96
R-Squared:      0.17672
Adj. R-Squared: 0.058588
F-statistic: 272.76 on 3 and 3812 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos :Fixed Effects (Ejemplo 2: Prueba F)

  • Comparamos POLS y FE mediante prueba F:
#F-test
f_test_wage <- pFtest(FE_plm_wage,pooled_plm_wage)
print(f_test_wage)

    F test for individual effects

data:  lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2)
F = 8.3294, df1 = 543, df2 = 3812, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Efectos fijos de dos vías (Two-Way Fixed Effects)

Efectos fijos de dos vías (Two-Way Fixed Effects)

  • No sólo tendremos un intercepto que cambié por cada individuo \(\beta_{i}\), también tendremos un intercepto que cambie por cada período \(\beta_{t}\):

\[y_{it} =\beta_i + \beta_t + x_{it}\gamma_i + u_{it} \]

  1. Con los FE por \(i\), tratamos de eliminar la variación entre unidades (países, individuos, etc.) y nos centramos en la variación dentro de la unidad a lo largo del tiempo.

  2. Con los FE por cada \(t\), tratamos de controlar la variación a lo largo del tiempo y nos centramos en la variación entre unidades dentro de un mismo período. (Shocks económicos)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double Demeaning)

  • Utilizando la transformación within o double demeaning:

\[\ddot{Y}_{it} = Y_{it} - \bar{Y}_{i} - \bar{Y}_{ t} + \bar{Y}_{\cdot\cdot}\]

Donde:
- \(\bar{Y}_{i}\) = promedio de la unidad \(i\) (en todos los \(t\))
- \(\bar{Y}_{t}\) = promedio del período \(t\) (en todas las unidades)
- \(\bar{Y}_{\cdot\cdot}\) = promedio global

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double Demeaning)

1️⃣ Restar promedio por unidad → elimina diferencias entre unidades.
2️⃣ Restar promedio por tiempo → elimina diferencias entre períodos.
3️⃣ Sumar promedio global → corrige doble resta.

Ejemplo:

Nombre Año Días Media persona Within (Y - mean_persona)
Diego 2019 160 130 +30
Diego 2020 100 130 -30
Raúl 2019 150 145 +5
Raúl 2020 140 145 -5

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double Demeaning)

Media por año (efecto tiempo)

Año Promedio año
2019 155
2020 120

Media total

  • \(\bar{Y}_{\cdot\cdot}\) = media global = 137.5

    • En el promedio por unidad ya estaba incluida la variación por tiempo y en el promedio por tiempo ya estaba incluida la variación por unidad.
    • Promedio global se quita dos veces.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double Demeaning)

Con las medias por año y global podemos calcular la transformación Double Demeaning:

  • \(\ddot{h}_{it} = h_{it} - \bar{h}_{i} - \bar{h}_{t} + \bar{h}_{\cdot\cdot}\)
Nombre Año Cálculo doble Double Demeaning
Diego 2019 160 - 130 - 155 + 137.5 +12.5
Diego 2020 100 - 130 - 120 + 137.5 -12.5
Raúl 2019 150 - 145 - 155 + 137.5 -12.5
Raúl 2020 140 - 145 - 120 + 137.5 +12.5
  • Valores positivos: más que la combinación de media persona y media año
  • Valores negativos: menos que la combinación de media persona y media año

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double demeaning en R)

  1. Para la transformación double demeaning (sustracción de medias por dos dimensiones) retomamos el ejemplo de la esperanza de vida y pib por método within (sustracción de la media por país):
p_load('tidyverse')

df_gapmind <- causaldata::gapminder

#Substracción de media a esperanza de vida y log percapita
df_gapmind  <- df_gapmind  |> 
               mutate(log_PIBper = log(gdpPercap)) |> 
               group_by(country) |> 
               mutate(#media esperanza de vida
                      life_exp_aver = mean(lifeExp),
                      #Esperanza de vida within
                      lifeExp_within = lifeExp - mean(lifeExp),
                      #media log(pib_percapita)
                      log_PIBper_mean = mean(log_PIBper) , 
                      #PIB within
                      log_PIBper_within = log_PIBper  - mean(log_PIBper )) |>  
               
               ungroup() |> 
               arrange(country)

head(df_gapmind)
# A tibble: 6 × 11
  country     continent  year lifeExp     pop gdpPercap log_PIBper life_exp_aver
  <fct>       <fct>     <int>   <dbl>   <int>     <dbl>      <dbl>         <dbl>
1 Afghanistan Asia       1952    28.8  8.43e6      779.       6.66          37.5
2 Afghanistan Asia       1957    30.3  9.24e6      821.       6.71          37.5
3 Afghanistan Asia       1962    32.0  1.03e7      853.       6.75          37.5
4 Afghanistan Asia       1967    34.0  1.15e7      836.       6.73          37.5
5 Afghanistan Asia       1972    36.1  1.31e7      740.       6.61          37.5
6 Afghanistan Asia       1977    38.4  1.49e7      786.       6.67          37.5
# ℹ 3 more variables: lifeExp_within <dbl>, log_PIBper_mean <dbl>,
#   log_PIBper_within <dbl>

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double demeaning en R)

¿Qué nos falta para realizar un TWFE con transfromación Double Demeaning?

  • Calculamos la medias por año y totales tanto de la \(Esperanza_i\) así como del \(log(PIBpercap)\):
## Substracción de media doble (Doubledemeaning ) ----
  
#Media por año y media global 
df_gapmind <- df_gapmind  |> 
group_by(year) |> 
mutate(lifeExp_year_mean = mean(lifeExp),
       logPIBper_year_mean = mean(log_PIBper))  |> 
ungroup() |> 
mutate(lifeExp_global_mean = mean(lifeExp),
         logPIBper_global_mean = mean(log_PIBper))

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double demeaning en R)

Con esto podemos calcular las variables transformadas:

  • \(\ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_{i} - \bar{y}_{t} + \bar{y}_{\cdot\cdot}\)

  • \(\ddot{x}_{it} = x_{it} - \bar{x}_{i} - \bar{x}_{t} + \bar{x}_{\cdot\cdot}\)

#Creación de variables Double Demeaning  yit​−yˉ​i⋅​−yˉ​⋅t​+yˉ​⋅⋅​
df_gapmind <- df_gapmind  |> 
               mutate( 
                 lifeExp_within_2way = lifeExp - life_exp_aver - lifeExp_year_mean + lifeExp_global_mean,
                 logPIBper_within_2way = log_PIBper - log_PIBper_mean  - logPIBper_year_mean + logPIBper_global_mean
                 )
head(df_gapmind)
# A tibble: 6 × 17
  country     continent  year lifeExp     pop gdpPercap log_PIBper life_exp_aver
  <fct>       <fct>     <int>   <dbl>   <int>     <dbl>      <dbl>         <dbl>
1 Afghanistan Asia       1952    28.8  8.43e6      779.       6.66          37.5
2 Afghanistan Asia       1957    30.3  9.24e6      821.       6.71          37.5
3 Afghanistan Asia       1962    32.0  1.03e7      853.       6.75          37.5
4 Afghanistan Asia       1967    34.0  1.15e7      836.       6.73          37.5
5 Afghanistan Asia       1972    36.1  1.31e7      740.       6.61          37.5
6 Afghanistan Asia       1977    38.4  1.49e7      786.       6.67          37.5
# ℹ 9 more variables: lifeExp_within <dbl>, log_PIBper_mean <dbl>,
#   log_PIBper_within <dbl>, lifeExp_year_mean <dbl>,
#   logPIBper_year_mean <dbl>, lifeExp_global_mean <dbl>,
#   logPIBper_global_mean <dbl>, lifeExp_within_2way <dbl>,
#   logPIBper_within_2way <dbl>

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Double demeaning en R)

Estimación de modelo Double Demeaning por OLS:

## Estimación por  TWFE por transformación Doubledemeneaning ------
m_FE2way_double <- lm(lifeExp_within_2way ~ logPIBper_within_2way, data = df_gapmind)
summary(m_FE2way_double)

Call:
lm(formula = lifeExp_within_2way ~ logPIBper_within_2way, data = df_gapmind)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-22.5109  -1.8818   0.0121   1.9573   9.0051 

Coefficients:
                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)           -3.465e-16  7.918e-02   0.000        1    
logPIBper_within_2way  1.450e+00  2.553e-01   5.678 1.59e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.269 on 1702 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.01859,   Adjusted R-squared:  0.01802 
F-statistic: 32.25 on 1 and 1702 DF,  p-value: 1.595e-08

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Implementación en R)

  • Estimamos el modelo de Two-Way Fixed Effects de la esperanza de vida con la función plm()

\[ Esperanza_{it} =\beta_i + \beta_t + log(PIBpercap)_{it}\beta_1 + u_{it} \]

#Convertimos a panel df 
df_pdata <- pdata.frame(df_gapmind , index = c("country", "year"))
#Two-way FE
m_twfe <- plm(lifeExp ~   log_PIBper, data = df_pdata, model = "within", effect = "twoways")

summary(m_twfe)
Twoways effects Within Model

Call:
plm(formula = lifeExp ~ log_PIBper, data = df_pdata, effect = "twoways", 
    model = "within")

Balanced Panel: n = 142, T = 12, N = 1704

Residuals:
      Min.    1st Qu.     Median    3rd Qu.       Max. 
-22.510864  -1.881758   0.012059   1.957336   9.005137 

Coefficients:
           Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)    
log_PIBper  1.44986    0.26755   5.419 6.94e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    18529
Residual Sum of Squares: 18185
R-Squared:      0.018593
Adj. R-Squared: -0.078281
F-statistic: 29.3656 on 1 and 1550 DF, p-value: 6.9397e-08

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects (Implementación en R 2)

  • También podemos utilizar la función feols() de la paquetería fixest

  • Usa una proyección algorítmica más eficiente mediante métodos matriciales lo cual es útil en datos grandes.

p_load('fixest')

m1_twfe <- feols(lifeExp ~ log_PIBper | country + year,
             data = df_gapmind)
summary(m1_twfe)
OLS estimation, Dep. Var.: lifeExp
Observations: 1,704
Fixed-effects: country: 142,  year: 12
Standard-errors: Clustered (country) 
           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
log_PIBper  1.44986   0.679481 2.13377 0.034592 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
RMSE: 3.26675     Adj. R2: 0.929686
                Within R2: 0.018593

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects

Comparación de Resultados de Modelos

library(knitr)
results_df <- data.frame(
  Model = c("Efectos Fijos (FE)", "Efectos Fijos Bidireccionales (TWFE)"),
  Coefficient = c(9.769, 1.450),
  Std_Error = c(0.297, 0.268),
  T_Value = c(32.944, 5.419),
  P_Value = c("< 2.2e-16", "6.94e-08"),
  R_Squared = c(0.410, 0.0186) , 
  F = c(1085.29, 29.3656)
  
)

kable(results_df, caption = "")
Model Coefficient Std_Error T_Value P_Value R_Squared F
Efectos Fijos (FE) 9.769 0.297 32.944 < 2.2e-16 0.4100 1085.2900
Efectos Fijos Bidireccionales (TWFE) 1.450 0.268 5.419 6.94e-08 0.0186 29.3656

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects VS FE

¿Efectos Fijos (solo por id) vs Efectos Fijos Bidireccionales (id + tiempo)?

\[ \begin{align*} H_0&: \beta_t = 0 \text{ (No hay efectos temporales)} \\ H_1&: \text{Al menos un } \beta_t \neq 0 \text{ (Existen efectos temporales)} \end{align*} \]

#FE
m_FE2 <- plm(lifeExp ~ log_PIBper , data = df_pdata  , model = "within")

#TWFE
m_twfe <- plm(lifeExp ~   log_PIBper, data = df_pdata, model = "within", effect = "twoways")

print(pFtest(m_twfe , m_FE2))

    F test for twoways effects

data:  lifeExp ~ log_PIBper
F = 197.21, df1 = 11, df2 = 1550, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects
  • \(\therefore\) Rechazamos \(H_0\) y tenemos evidencia que existen efectos temporales

  • Buena parte de la variación inicial estaba capturada por diferencias temporales comunes a todas las unidades.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects VS FE

Consideraciones

Característica Fixed Effects (FE) Simple Two-Way Fixed Effects (TWFE)
Tamaño muestral Muestra pequeña Muestra grande
Shocks No hay shocks temporales importantes Presencia de shocks macroeconómicos
Foco del análisis Interés principalen variación within individual Efectos temporales significativos
Estructura temporal Estructura temporal simple Necesidad de controlar tendencias temporales

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects

Modelo de ecuación de salario por Two-Way Fixed Effects:

#TWFE ----
m_twfe_wage <- plm(lwage ~  union + educ + exper + I(exper^2),
                   data = pdata_wage, 
                   model = "within",
                   effect = "twoways")
summary(m_twfe_wage)
Twoways effects Within Model

Call:
plm(formula = lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2), data = pdata_wage, 
    effect = "twoways", model = "within")

Balanced Panel: n = 545, T = 8, N = 4360

Residuals:
     Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max. 
-4.162319 -0.122387  0.011382  0.156413  1.509346 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
union       0.0813002  0.0193175  4.2086 2.629e-05 ***
I(exper^2) -0.0053408  0.0007023 -7.6047 3.576e-14 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    479.09
Residual Sum of Squares: 469.55
R-Squared:      0.019897
Adj. R-Squared: -0.12251
F-statistic: 38.633 on 2 and 3806 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects

Interpretación

  • Estimación: 0.0813
  • Significancia: p < 0.001

Ser miembro de un sindicato se asocia con un aumento promedio de 8.1% en el salario dentro del mismo individuo a lo largo del tiempo.

  • Si observamos en la salida del modelo, no está la variable experiencia.

La variable termina siendo aproximadamente constante (muy poca variación dentro de la unidad después de ajustar por tiempo), R la elimina porque no aporta información adicional al modelo.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects

¿FE o Two-Way Fixed Effects? Prueba F para comprobar

#Modelo FE con plm ----
FE_plm_wage <- plm(lwage ~  union + educ + exper + I(exper^2) , 
                   data = pdata_wage,
                   model = "within", 
                   effect = 'individual')

#Efectos fijos (FE) vs  Efectos fijos de dos vías (TWFE) ----
print(pFtest(m_twfe_wage , FE_plm_wage))

    F test for twoways effects

data:  lwage ~ union + educ + exper + I(exper^2)
F = 1.8966, df1 = 6, df2 = 3806, p-value = 0.07763
alternative hypothesis: significant effects

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Two-Way Fixed Effects

  • F = 1.8966
  • p-value ≈ 0.078 > 0.05

Conclusión: No se rechaza la hipóstesis nula al 5% de significancia. Los efectos fijos por tiempo no aportan información significativa al modelo.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

El Estimador de diferencia en diferencias

Partimos de un modelo de efectos fijos en donde el regresor de interés es binario:

\[y_{it} = \delta_t + \alpha_i+ \phi D_{it} + c_i + u_{it}\] Donde: \[D_{it} = \begin{cases} 1 & \text{si el individuo i recibe tratamiento/intervención en t} \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\]

  • efecto fijo \(\alpha_i\)

  • efecto temporal \(\delta_t\)

  • efecto constante no observado \(c_i\)

Cameron & Trivedi (2005, 2009)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

Al aplicar primeras diferencias:

\[\Delta y_{it} = (\delta_t - \delta_{t-1}) + \phi \Delta D_{it} + \Delta u_{it}\] - El efecto fijo individual desaparece.
- Ya no nos preocupa la correlación entre \(c_i\) y \(D_{it}\).
- \(\phi\) será el efecto de tratamiento y será estimado consistentemente por pooled OLS

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

Intuición de la Primera Diferencia

  • Al diferenciar, estamos comparando a cada individuo consigo mismo en dos pereíodos consecutivos.

  • Esto elimina todo lo que es constante en el tiempo para ese individuo (ej. habilidades innatas, características estructurales, nivel socioeconómico fijo).

  • Solo queda la variación en el tiempo (cambio en tratamiento y shocks).

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

  1. Considerando el caso particular de \(T = 2\) (sólo dos períodos)

  2. Suponiendo que la intervención sólo ocurre en el período dos:

    • En \(t=1\), para \(D_{i1} = 0\) para todos los \(i\)
    • En \(t=2\) habrá \(D_{i2} = 0\) (no tratados) y \(D_{i2} = 1\) (tratados)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff

Por tanto el modelo a estimar en ese escenario será:

\[\Delta y_{i} = \delta + \phi D_{i} +u_{i}\]

  • \(D_i\) es la variable de tratamiento que indica si recibe el tratamiento o no.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

  • Definiendo el promedio muestral de \(\Delta \bar y^{trat}\) y \(\Delta \bar y^{no~trat}\)

podemos definir el estimador de \(phi\) que se estima por OLS como:

\[\hat\phi= \Delta \bar y^{trat} - \Delta \bar y^{no~trat}\]

  • Al estimador se le conoce como estimador de diferencias-en-diferencias (DID)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

¿Por qué Diff-in-Diff?

  • Primero se estima la diferencia de el grupo de tratamiento y de no tramiento en cada período y después se calcula la diferencia de esas diferencias entre cada período:

\[\hat\phi= (\bar y^{trat}_2 - \bar y^{trat}_1) - (\bar y^{no~trat}_2 - \bar y^{no~trat}_1)\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

Otra forma de especificar el modelo si tenemos dos grupos y dos períodos de tiempo:

\[y_i = \beta_o + \beta_1GrupoTratado_i + \beta_2 PostTrat_t + \beta_3(GrupoTratado_i*PostTrat_t) + \epsilon_i \] Donde:

  • \(GrupoTratado_i\): si la unidad pertenece al grupo tratado, 0 si pertenece al grupo de contro

  • \(PostTrat_t\): variable indicadora (=1 si el periodo es posterior a la introducción de la política/tratamiento, 0 en caso contrario)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (¿Cómo funciona?)

Interpretación de coeficientes

Término Interpretación
\(\beta_0\) Valor promedio del grupo de control antes del tratamiento (baseline).
\(\beta_1\) Diferencia promedio entre el grupo tratado y el grupo de control antes del tratamiento.
\(\beta_2\) Cambio promedio en el grupo de control después del tratamiento, en comparación con el periodo previo.
\(\beta_3\) Estimador Diff-in-Diff(DID): cuánto más (o menos) cambió el grupo tratado en comparación con el grupo de control después del tratamiento.
\(\epsilon_i\) Término de error, captura factores no observados.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo)

Supongamos que medimos ingresos anuales promedio antes y después de un programa.

Grupo Tratado (eligible)

  • Antes del tratamiento: 10,000
  • Después del tratamiento: 13,000
  • Cambio: \(\bar{y}^{tr}_2 - \bar{y}^{tr}_1 = 13,000 - 10,000 = 3,000\)

Grupo Control (no elegible)

  • Antes del tratamiento: 15,000
  • Después del tratamiento: 17,000
  • Cambio: \(\bar{y}^{nt}_2 - \bar{y}^{nt}_1 = 17,000 - 15,000 = 2,000\)

Efecto del tratamiento (DiD):

\(\phi = (\bar{y}^{tr}_2 - \bar{y}^{tr}_1) - (\bar{y}^{nt}_2 - \bar{y}^{nt}_1) = 3,000 - 2,000 = 1,000\)

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo)

  • De forma gráfica:
  • La diferencia adicional observada en el grupo tratado se interpreta como el efecto causal del tratamiento.

  • El estimador de diff-in-dif separa el efecto del tiempo \(t\) del tratamiento \(D\)

  • En este ejemplo: el programa aumentó los ingresos en 1,000.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Supuesto)

Supuesto de Tendencias Paralelas

  • El estimador Diff-in-Diff requiere que, en ausencia del tratamiento, la evolución media de la variable objetivo del grupo tratado, habría sido la misma que la del grupo de no tratado (control).

\[E \big[ Y_{i,t=2}(0) \mid D_i = 1 \big] - E \big[ Y_{i,t=1}(0) \mid D_i = 1 \big] = E \big[ Y_{i,t=2}(0) \mid D_i = 0 \big] - E \big[ Y_{i,t=1}(0) \mid D_i = 0 \big]\]

  • El lado izquierdo: evolución esperada del grupo tratado en el escenario hipotético donde no hubieran recibido el tratamiento.
  • El lado derecho: evolución observada del grupo control.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Supuesto)

¿Por qué es importante?

Este supuesto es crucial porque permite construir el contrafactual. Es decir, nos permite estimar qué habría pasado con el grupo tratado si no hubiera recibido el tratamiento.

  • Sin esta suposición, no podríamos aislar el impacto del tratamiento de otros factores que puedan estar afectando a ambos grupos de forma diferente.

  • La validez y consistencia del estimador de diff-in-diff depende por completo de que este supuesto se cumpla.

  • Si las tendencias de los grupos ya eran diferentes antes de la intervención, entonces las diferencias observadas después no podrían atribuirse de manera confiable al tratamiento.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Supuesto)

¿Podemos comprobar el supuesto?

  • No directamente porque no tenemos el escenario contrafactual

  • Test Visual de Tendencias Previas (Prior Trends):

Promedio de la variable de resultado a lo largo del tiempo para ambos grupos (tratado y control). Antes de la intervención, las líneas de ambos grupos deberían seguir tendencias similares, es decir, ser aproximadamente paralelas.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Supuesto)

Test Estadístico: Tendencias Previas (Prior Trends)

  • Idea: con sólo un período adicional previo \(t=0\) y \(t=1\) corre una regresión con interacción \(tratados×postpre\).

\[y_{it} = \alpha_i + \delta postpre_t+ \lambda (GrupoTratado_i*postpre_t) +u_{it}\]

Donde:

  • \(postpre\): indicador de segundo período pre-tratamiento (t=1)

  • \(GrupoTratado_i\): interacción que captura diferencia en cambios entre grupos antes del tratamiento.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Supuesto)

Hipótesis

H0: el cambio medio de tratados en el pre es igual al de control, por lo tanto \(\delta = 0\).

  • Si no rechazamos H0, los tratados y controles crecieron igual en el pre, consistente con parallel trends.

  • El estimado de diff-in-diff podría estar sesgado

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

‘Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania’ - Card & Krueger (1994)

Teoría económica estándar

Si el salario mínimo se fija por arriba del salario de equilibrio:

  • La demanda de trabajo cae.

  • La oferta de trabajo aumenta.

Resultado esperado: el salario mínimo perjudica a algunos trabajadores de bajos salarios.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

  • Pregunta de investigación

    -¿Qué ocurre realmente con los niveles de empleos cuando sube el salario mínimo?

  • Contexto: Aumento del salario mínimo en Nueva Jersey

    • En 1991, el salario mínimo federal en EE. UU. era $4.25/hora.

    • En abril de 1992, Nueva Jersey aumentó su salario mínimo a $5.05/hora.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Datos

  • Encuestaron a 410 restaurantes de comida rápida en en Nueva Jersey y en el éste de Pensilvania, antes y después de la implementación del aumento en Nueva Jersey

  • Utilizamos el conjunto de datos njmin de la paquetería diffindiff

#Instalación de paquetería para obtener Card & Krueger (1994):
#remotes::install_github("b-rodrigues/diffindiff")
p_load(diffindiff)
#Datos
data("njmin")
str(njmin)
spc_tbl_ [820 × 27] (S3: spec_tbl_df/tbl_df/tbl/data.frame)
 $ sheet      : chr [1:820] "46" "49" "506" "56" ...
 $ chain      : chr [1:820] "bk" "kfc" "kfc" "wendys" ...
 $ state      : chr [1:820] "Pennsylvania" "Pennsylvania" "Pennsylvania" "Pennsylvania" ...
 $ region     : chr [1:820] "pa1" "pa1" "pa1" "pa1" ...
 $ observation: chr [1:820] "February 1992" "February 1992" "February 1992" "February 1992" ...
 $ co_owned   : chr [1:820] "No" "No" "Yes" "Yes" ...
 $ bonus      : chr [1:820] "Yes" "No" "No" "Yes" ...
 $ ncalls     : num [1:820] 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 ...
 $ empft      : num [1:820] 30 6.5 3 20 6 0 50 10 2 2 ...
 $ emppt      : num [1:820] 15 6.5 7 20 26 31 35 17 8 10 ...
 $ nmgrs      : num [1:820] 3 4 2 4 5 5 3 5 5 2 ...
 $ wage_st    : num [1:820] NA NA NA 5 5.5 5 5 5 5.25 5 ...
 $ inctime    : num [1:820] 19 26 13 26 52 26 26 52 13 19 ...
 $ firstinc   : num [1:820] NA NA 0.37 0.1 0.15 0.07 0.1 0.25 0.25 0.15 ...
 $ pctaff     : num [1:820] NA NA 30 0 0 45 0 0 0 0 ...
 $ meals      : chr [1:820] "Reduced price meals" "Reduced price meals" "Reduced price meals" "Reduced price meals" ...
 $ open       : num [1:820] 6.5 10 11 10 10 10 6 0 11 11 ...
 $ hrsopen    : num [1:820] 16.5 13 10 12 12 12 18 24 10 10 ...
 $ psoda      : num [1:820] 1.03 1.01 0.95 0.87 0.87 0.87 1.04 1.05 0.73 0.94 ...
 $ pfry       : num [1:820] 1.03 0.9 0.74 0.82 0.77 0.77 0.88 0.84 0.73 0.73 ...
 $ pentree    : num [1:820] 0.52 2.35 2.33 1.79 1.65 0.95 0.94 0.96 2.32 2.32 ...
 $ nregs      : num [1:820] 3 4 3 2 2 2 3 6 2 4 ...
 $ nregs11    : num [1:820] 3 3 3 2 2 2 3 4 2 4 ...
 $ type       : chr [1:820] NA NA NA NA ...
 $ status     : chr [1:820] NA NA NA NA ...
 $ date       : Date[1:820], format: NA NA ...
 $ special    : chr [1:820] NA NA NA NA ...

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Distribución de restaurantes por estado

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Estadística Descriptiva: Participación cadenas por estado

table_dist_rest  <- njmin |> 
  group_by( state, chain) |>
  summarise(n = n()) |> 
  mutate(prop = n / sum(n)) |> 
  dplyr::select(-n) |> 
  tidyr::pivot_wider(names_from = state, values_from = prop, values_fill = 0) 

kable(table_dist_rest, digits = 2, caption = "Participación en el empleo de cadenas por estados")
Participación en el empleo de cadenas por estados
chain New Jersey Pennsylvania
bk 0.41 0.44
kfc 0.21 0.15
roys 0.25 0.22
wendys 0.14 0.19

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Estadística Descriptiva: Medias de empleo total, porcentaje de empleo de tiempo completo, salario, horas operadas

Creación de variables:

  • emptot : los equivalentes de tiempo completo (FTE, por sus siglas en inglés) consisten en empleados de tiempo completo, gerentes y empleados de medio tiempo (multiplicado por 0.5)

  • prop_fte: proporción de empleados de tiempo completo (empft/emptot)

#Creación de variables:
#emptot : los equivalentes de tiempo completo (FTE, por sus siglas en inglés) 
#consisten en empleados de tiempo completo, gerentes y empleados de medio tiempo (multiplicado por 0.5) .
njmin <- njmin  |> 
         mutate(emptot =  empft + nmgrs +  (emppt * 0.5), 
                prop_fte = (empft/emptot)*100 )

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Medias de empleo total, porcentaje de empleo de tiempo completo, salario, horas operadas

variable New Jersey_Pre Pennsylvania_Pre New Jersey_Post Pennsylvania_Post
emptot 20.44 23.33 21.03 21.17
proptaff 32.85 35.04 35.87 30.38
wage_st 4.61 4.63 5.08 4.62
hrsopen 14.42 14.53 14.42 14.65

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Primeras diferencias

\[diff_{pre} = \text{mean_tratado_pre} - \text{mean_control_pre}\]

\[diff_{post} = \text{mean_tratado_post} - \text{mean_control_post}\]

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Primeras diferencias

#Medias por grupo
mean_emptot  <- njmin |>  
                      group_by(observation, state) |>  
                      summarise(emptotal = mean(emptot , na.rm = TRUE))

# pre-tratamiento  (NJ)
mean_njfeb <- mean_emptot[1,3]
# pre-tratamiento  (PA) Control
mean_pafeb <- mean_emptot[2,3]
# post_tratamiento (NJ)
mean_njnov <- mean_emptot[3,3]
# post_tratamiento (PA) Control
mean_panov <- mean_emptot[4,3]



#Diferencia de grupo tratado vs control pre
diff_pre <- mean_njfeb -  mean_pafeb 
#Diferencia de grupo tratado vs control post
diff_post <-  mean_njnov - mean_panov

print(diff_pre)
   emptotal
1 -2.891761
print(diff_post)
    emptotal
1 -0.1381549

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Segunda diferencia

\[ATE = diff_{post} - diff_{pre}\]

#Diferencia de grupo tratado vs control pre
diff_pre <- mean_njfeb -  mean_pafeb 
#Diferencia de grupo tratado vs control post
diff_post <-  mean_njnov - mean_panov

#ATE
ATE <-  diff_post - diff_pre 

print(ATE)
  emptotal
1 2.753606

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado)

Interpretación del efecto promedio de tratamiento (ATE):

“El aumento del salario mínimo en Nueva Jersey se asoció con un incremento promedio de aproximadamente 2.76 empleados de tiempo completo equivalente por restaurante de comida rápida, en comparación con los restaurantes similares en Pensilvania.”

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado: Estimación)

Estimación por Diferencias-en-Diferencias

  • Método de interacción por OLS
#1. Es necesario crear las variables dummy's de tratamiento (GrupoTratado_i) y tiempo (PostTrat_t) ----

njmin  <- njmin |> 
          mutate(PostTrat = ifelse(observation == "November 1992", 1, 0),
                 GrupoTratado = ifelse(state == "New Jersey", 1, 0)  )

model_did_inter <- lm(emptot ~ PostTrat + GrupoTratado + PostTrat:GrupoTratado,
                      data = njmin)

summary(model_did_inter)

Call:
lm(formula = emptot ~ PostTrat + GrupoTratado + PostTrat:GrupoTratado, 
    data = njmin)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-21.166  -6.439  -1.027   4.473  64.561 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)             23.331      1.072  21.767   <2e-16 ***
PostTrat                -2.166      1.516  -1.429   0.1535    
GrupoTratado            -2.892      1.194  -2.423   0.0156 *  
PostTrat:GrupoTratado    2.754      1.688   1.631   0.1033    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 9.406 on 790 degrees of freedom
  (26 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.007401,  Adjusted R-squared:  0.003632 
F-statistic: 1.964 on 3 and 790 DF,  p-value: 0.118

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado: Estimación)

Estimación por Diferencias-en-Diferencias

  • Método Efectos Fijos (TWFE)
#Recordando: Le damos estructura de panel al df 
p_load('plm')
df_panel_njmin <- pdata.frame(njmin, 
                              index = c("sheet" ,"PostTrat"))
#Model TWFE
model_did_twfe <- plm( emptot ~ GrupoTratado*PostTrat,
                       data = df_panel_njmin,
                       model = "within",   # efectos fijos de unidad
                       effect = "twoways")  # también efectos fijos de tiempo


summary(model_did_inter)

Call:
lm(formula = emptot ~ PostTrat + GrupoTratado + PostTrat:GrupoTratado, 
    data = njmin)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-21.166  -6.439  -1.027   4.473  64.561 

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)             23.331      1.072  21.767   <2e-16 ***
PostTrat                -2.166      1.516  -1.429   0.1535    
GrupoTratado            -2.892      1.194  -2.423   0.0156 *  
PostTrat:GrupoTratado    2.754      1.688   1.631   0.1033    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 9.406 on 790 degrees of freedom
  (26 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.007401,  Adjusted R-squared:  0.003632 
F-statistic: 1.964 on 3 and 790 DF,  p-value: 0.118

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Ejemplo aplicado: Estimación)

Interpretación

  • “El aumento en el salario mínimo está asociado con un incremento promedio 2.754 de empleados de tiempos completo en Nueva Jersey, en comparación de Pensilvania.”

  • Importante: el efecto no es estadísticamente significativo al 5% (p = 0.1033). Es marginalmente significativo al 10%.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Críticas)

¿Qué tan válidos son estos resultados

  • Recordemos que el principal suspuesto es el de tendencias pararelas, el nivel de empleo tendría que ser en promedio el mismo en los dos grupos en ausencia del tratamiento.

  • El estudio original no tenía datos para períodos adicionales así que realizaron un revisión (2000) en donde obtuvieron datos administrativos de nómina de restaurantes de Nueva Jersey y Pensilvania.

  • Al igual en los datos originales se muestra un ligero descenso del empleo en Pensilvania entre febrero y noviembre de 1992, y poco cambio en Nueva Jersey durante el mismo período.

  • Sin embargo, los datos también revelan variaciones considerables en el empleo de un año a otro en otros períodos. Pennsylvania ya tenía una tendencia diferente a New Jersey antes del aumento del salario mínimo.

  • Esto sugirió que Pensilvania podría no ser un buen contrafactual para estimar el empleo que habría tenido Nueva Jersey en ausencia de la política, y viceversa.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Historia)

Orígenes históricos: John Snow y el cólera

  • En 1854, John Snow realizó uno de los primeros análisis comparativos en salud pública.

  • Estudió el brote de cólera en Londres, comparando tasas de mortalidad entre diferentes barrios antes y después de cerrar la bomba de agua contaminada.

  • Este análisis puede considerarse un antecedente temprano del DID, al comparar grupos tratados y no tratados en distintos periodos de tiempo.

El mapa de cólera de John Snow

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Diff-in-Diff (Historia)

Formalización moderna del DID

  • El método DID se formalizó econométricamente en los años 70-80.

  • Ashenfelter (1978):Using the Longitudinal Structure of Earnings to Estimate the Effect of Training Programs.

  • Orley Ashenfelter;David Card (1985): Using the Longitudinal Structure of Earnings to Estimate the Effect of Training Programs

    • Estimaron los efectos de programas de capacitación laboral usando diferencias antes/después y grupo de control.
  • Desde entonces, DID se ha convertido en herramienta clave para evaluación de políticas públicas y análisis causal con datos de panel.

Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Random Effects

Recordemos nuestro efecto no observado (efecto constante individual no observado): \(c_i\)

  • En FE el objetivo er eliminar \(c_i\) con el método demeaned (extracción de la media), ya que pensamos que los \(c_i\) están correlacionado con \(x_{it}\).

Discusión: ¿Tratar como variable aleatoría o como un parámetro con el que tenemos que estimar?

  • El problema principal es si \(c_i\) está correlacionado o no con el conjunto de variables explicativas \(x_{it}\)

  • Por lo tanto:

\[Cov(\mathbf{x_{it},c_i}) =0,~~~t = 1,2,...,T \] #### Modelos Lineales con Datos Panel Estáticos: Random Effects {.smaller}

  • Tenemos un supuesto de media condicional más fuerte:

\[E(c_i |\mathbf{x_{i1}},...,\mathbf{x_{iT}}) = E(c_{i}) = 0\]

  • En FE, cuando controlamos por el efecto fijo individual permitimos cierta correlación de \(c_{i}\) con \(x_{it}\). si no están correlacionados y tratamos de controlar el efecto individual obtendremos un estimador ineficiente.

Modelos Lineales con Datos Panel

Random Effects (Estimación)

¿Cómo podemos estimar \(\beta\) cuando pensemos que se cumple que \(c_{i}\) y \(x_{it}\) no estén correlacionadas?

  • Podríamos utilizar POLS y obtendríamos un estimador consistente PERO ignoramos la correlación serial de \({v}_{it}\)

\[{v}_{it} = {c}_{i} + {u}_{it} \]

  • Como \({c}_{i}\) está presente en todos los períodos de tiempo:

\[Cov({v}_{it},v_{is}) = \frac{\sigma_{c}^2}{\sigma_{c}^2 +\sigma_{u}^2 } \]

  • Un método que utilizamos para estimar modelos cuando existe autocorrelación serial es el de Mínimo Cuadrados Generalizados (GLS).

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Estimación)

  • Recordemos que el método de FE sólo permite la variación within, pero si tenemos pocas observaciones los efectos fijos inviduales estarán sesgados \(\beta_{i}s\), y por lo tanto \(\hat\beta_{FE}\) también.

  • El método de RE hará supuestos de la distribución del efecto fijo individual \(\beta_{i}s\), tratando de solucionar la correlación serial del error compuesto \(v_i\) y asignándole una estructura “especial” a los errores idiosincráticos .

  • \(\therefore\) estimamos en un marco de Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS)

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Estimación)

A tráves del framework de Mínimo Cuadrados Generalizados (GLS) el enfoque de RE explota la correlación serial.

  • Para que la estimación sea consistente necesitamos estricta exogeneidad entre las variables explicativas y el error compuesto

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Estimación)

¿Qué modelo estimaremos?

\[ \textbf{y}_{i}= \textbf{X}_{i}\boldsymbol{\beta} + \textbf{v}_{i} ~~~t=1,2,...T\]

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Estimación)

El error compuesto se escribe como:

\(\textbf{v}_{i} = c_i* \textbf{j}{T} + \textbf{u}_{i}\)

Donde:

  • \(\textbf{v}_{i}\) : es un vector de \(T\) X 1 de errores compuestos

  • \(c_{i}\) : es el efecto individual no observado

  • \(\textbf{j}_{T}\): es un vector de unos

  • \(\textbf{u}_{i}\): vector de errores idiosincráticos

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

  • RE.1 Exogeneidad estricta :

\(a) E(u_{it}|\mathbf{x_{i}},c_i) = 0 ,~~t=1,...,T\)

\(b) E(c_{i}| \mathbf{x_{i}}) = E(c_{i})=0\)

\(where~~ \mathbf{x_{i}}\equiv(\mathbf{x_{i1}},\mathbf{x_{i2}},...,\mathbf{x_{iT}})\)

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

Tendremos una matriz de varianzas incondicionales de \(\textbf{v}_{i}\):

\[ \Omega \equiv \mathbb{E}(\textbf{v}_i \textbf{v}_i')\] - Es decir la matriz de varianzas y covarianza

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

Debemos de suponer que la matriz de varianzas-covarianzas es definida positiva, significa:

  • Esto garantiza que no haya colinealidad perfecta ni combinaciones lineales triviales entre los errores.

  • Así, la matriz puede invertirse, asi obtendremos estimadores consistentes de Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS).

Por tanto:

  • RE.2 rango completo

\[rank E( \mathbf{X_{i}}' \Omega^{-1} \mathbf{X_{i}})] = K\]

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

Con la matriz \(\Omega\) le daremos estructura a los errores idiosincráticos y por tanto se tienen que cumplir los supuestos:

  1. Varianza constante incondicional: \(E(u_{it}^2) = \sigma^2_{u}\)

  2. Errors idiosincráticos son serialmente no correlacionados:\(~~E(u_{it}, u_{is}) = 0 ~~t\neq s\)

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

Bajo esos supuestos podemos calcular las varianzas y covarianzas de \(\textbf{v}_{i}\)

  • Tomando en cuenta que RE.1 \(E(c_{i}u_{it}) = 0,~~t=1,2,...T\) la varianza será:

\[ E(v_{it}^2) = E(c_{i}^2) + E(u_{it}^2) + 2E(c_{i}^2u_{it}^2) = \sigma^2_{c} + \sigma^2_{u} \]

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

Para la covarianza:

\[E(v_{it}v_{is}) = E[(c\_{i} + u_{it}))(c_{i}+u_{is}))]\]

\[= E(c_i^2) + E(c_iu_{is}) + E(u_{it}c_i) + E(u_{it}u_{is}) \]

Dados los supuestos RE.1 y \(~~E(u_{it}, u_{is}) = 0\)

\[\therefore ~~ E(v_{it}v_{is}) = \sigma^2_{c}\]

Modelos Lineales con Datos Panel:Random Effects (Supuestos)

La matriz \(\Omega\) tomará la siguiente forma especial: efectos aleatorios.

\[\Omega = \mathbb{E}(v_i v_i') = \begin{pmatrix} \sigma_c^2 + \sigma_u^2 & \sigma_c^2 & \cdots & \sigma_c^2 \\ \sigma_c^2 & \sigma_c^2 + \sigma_u^2 & \cdots & \sigma_c^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_c^2 & \sigma_c^2 & \cdots & \sigma_c^2 + \sigma_u^2 \end{pmatrix}\]

También podemos representar la matriz de esta forma:

\(\Omega= \sigma_{u} ^2\mathbf{I_{T}}+\sigma^2_{c}\mathbf{j_{T}}\mathbf{j'_{T}}\)

Modelos Lineales con Datos Panel: Random Effects (Supuestos)

RE.3 Homocedasticidad :

\[ a) E(u_{it}^2|\mathbf{x_{i}},c_i) = \sigma^2_{u}\mathbf{I}_T \]

\[b) E(c^2_{i}|\mathbf{x_{i}}) = \sigma^2_{c}\]

  • Más estricto porque asume que la varianza condicional es constante y las covarianzas son cero.
  • Varianza condicional del efecto no observado con las variables es constante.
  • Se mantiene la forma de \(\Omega\)
  • No correlación serial entre \(c_i\) y \(\mathbf{x_{it}}\)

Modelos Lineales con Datos Panel:Random Effects (Supuestos)

Como no conocemos \(\Omega\), tenemos que estimarla:

\[\hat\Omega= \hat\sigma_{u} ^2\mathbf{I_{T}}+\hat\sigma^2_{c}\mathbf{j_{T}}\mathbf{j'_{T}}\]

  • Obtenemos los residuales del modelo POLS para estimar \(\sigma^2_{v}\):

\[ \hat\sigma_v^2 = \frac{1}{NT-K} \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \hat{\hat{v}} _{it}^2\] Donde: \(NT-K\) es la corrección por grados de libertad

Modelos Lineales con Datos Panel:Random Effects (Supuestos)

Para obtener un estimador de \(\sigma^2_{c}\) recordamos que \(\sigma^2_{c} = E(v_{it}v_{is})\) :

\[\hat\sigma_c^2 = \frac{1}{[NT(T-1)/2-K]} \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^{T-1} \sum_{s=t+1}^T \hat{\hat{v}}_{it} \hat{\hat{v}}_{is}\] Donde: \(NT(T-1)/2-K\) es la corrección por grados de libertad

Modelos Lineales con Datos Panel:Random Effects (Supuestos)

Dado que estimamos \(\hat\sigma_v^2\) y \(\hat\sigma_c^2\) podemos estimar:

\[\hat\sigma_u^2 = \hat\sigma_v^2 - \hat\sigma_c^2\]

Modelos Lineales con Datos Panel

Random Effects (Estimación)

El estimador de Efectos Aleatorios (RE) se representa como:

\[ \therefore~~~~~\hat{\beta}_{RE} = \left( \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x_i}' \hat{\Omega}^{-1} \mathbf{x_i} \right)^{-1} \left( \sum_{i=1}^{N} \mathbf{x_i}' \hat{\Omega}^{-1} \mathbf{y_i} \right) \]

Modelos Lineales con Datos Panel

Random Effects (Ventajas y desventajas)
  • Por la estructura impuesta a los errores podemos tener estimaciones más precisas, es decir, errores estándares más bajos.

  • Mejora la estimación de los errores fijos individuales (\(\beta_{i}s\))

  • En lugar de sólo utilizar la variación within, implementa una ponderación entre la variación between y within.

  • Necesitamos que \(\beta_{i}s\) no estén relacionadas con las variables explicativas.

  • Ejemplo: ¿Efectos fijos individuales de cada país está relacionado con el PIB percapita?

Modelos Lineales con Datos Panel

Efectos aleatorios (RE) vs Efectos Fijos (FE)
Característica FE RE
Variabilidad entre unidades Absorbida por efectos específicos Tratada como aleatoria
Efectos no observados Correlacionados con las variables explicativa No correlacionados con las variables
Estimación de variables que no cambian en el tiempo No posible Posible
Uso de variabilidad Within Ponderación within y between

Modelos Lineales con Datos Panel

Efectos aleatorios (RE) vs Efectos Fijos (FE)
  • FE permite correlación serial entre \(c_i\) y \(\mathbf{x_{it}}\) y RE no.

  • FE es un método más utilizado porque dificilmente \(\beta_{i}s\) y \(\mathbf{x_{it}}\) no estarán correlacionados.

  • En RE se utilizan más variables explicativas que son constantes en el tiempo, respecto a FE.

  • RE nos da estimador más eficiente

  • Si las unidades de observación son extensiones geográficas grandes (estados, países o provincias) utilizamos FE.

  • La cuestión clave para determina si usamos FE o RE, es si pertinentemente podemos asumir que \(c_i\) no está correlacionado con \(\mathbf{x_{it}}\).

Modelos Lineales con Datos Panel

RE vs FE (Implementación en R)
  • Estimación RE:
#Convertimos panel df 
df_pdata <- pdata.frame(df_gapmind , index = c("country", "year"))
#Estimación por FE 
m_FE2 <- plm(lifeExp ~ log_PIBper , data = df_pdata  , model = "within",   effect = 'individual')
#Estimación por RE
m_RE <- plm(lifeExp ~ log_PIBper , data = df_pdata  , model = "random")

summary(m_RE)
Oneway (individual) effect Random Effect Model 
   (Swamy-Arora's transformation)

Call:
plm(formula = lifeExp ~ log_PIBper, data = df_pdata, model = "random")

Balanced Panel: n = 142, T = 12, N = 1704

Effects:
                 var std.dev share
idiosyncratic 27.953   5.287 0.481
individual    30.114   5.488 0.519
theta: 0.732

Residuals:
     Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max. 
-23.62988  -2.69970   0.25631   3.20672  16.05044 

Coefficients:
             Estimate Std. Error z-value  Pr(>|z|)    
(Intercept) -15.89278    2.02424 -7.8512  4.12e-15 ***
log_PIBper    9.23755    0.24105 38.3214 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    89063
Residual Sum of Squares: 47811
R-Squared:      0.46318
Adj. R-Squared: 0.46287
Chisq: 1468.53 on 1 DF, p-value: < 2.22e-16

Modelos Lineales con Datos Panel

RE vs FE (Interpretación de Resultados)
  • Varianzas y Efectos:

  • Idiosincrático: La varianza idiosincrática es 27.953 con una desviación estándar de 5.287, lo que indica que la variabilidad en los residuos que no puede explicarse por las variables independientes utilizadas es alta.

  • Individual: La varianza individual es 30.114 con una desviación estándar de 5.488, sugiere que la variabilidad entre países es importante y por tanto el PIB per capita no se asocia de de forma uniforme con la esperanza de vida entre los distintos países.

  • Proporción: La proporción de la varianza idiosincrática es 48.1% y la varianza individual es 51.9%, lo que indica que la variabilidad entre individuos (países) y la variabilidad idiosincrática son aproximadamente iguales en su contribución al total de la varianza.

  • El valor de \(\theta\) = 0.732 sugiere que una proporción considerable de la variabilidad en la esperanza de vida puede ser explicada por efectos no observables individualea de los países. Factor de transformación.

Modelos Lineales con Datos Panel

RE vs FE (Hausman Test)
  • Consideración clave para elegir es si las \(c_i\) y las \(\mathbf{x_{it}}\) están correlacionadas.

  • En 1978 Hausman propuso un método para comparar las estimaciones por FE y RE

\[ \begin{align*} H_0&: \text{Cov}(x_{it}, c_i) = 0 \text{ (Efectos Aleatorios es consistente y eficiente)} \\ H_1&: \text{Cov}(x_{it}, c_i) \neq 0 \text{ (Efectos Fijos es consistente)} \end{align*} \]

  • Prueba de Hausman:

\[ H = (β_{FE} - β_{RE})'[Var(β_{FE}) - Var(β_{RE})]^{-1}(β_{FE} - β_{RE}) \sim \chi^2_k \]

Modelos Lineales con Datos Panel

RE vs FE (Hausman Test en R)
# Test de Hausman
phtest(m_FE2, m_RE)

    Hausman Test

data:  lifeExp ~ log_PIBper
chisq = 9.4684, df = 1, p-value = 0.00209
alternative hypothesis: one model is inconsistent
  • Los resultados de la prueba de Hausman indican que el modelo de efectos fijos es consistente.

Modelos Lineales con Datos Panel

RE vs POLS (Test Lagrange Multiplier (LM) de Breusch-Pagan )
  • \(H_o:\) No hay efectos aleatorios significativos. POLS es suficiente.

  • \(H_a:\) Existen efectos aleatorios por lo que el modelo RE es preferible.

# Modelo pooled (OLS)
pooled_plm <- plm(lifeExp ~ log_PIBper, data = df_pdata, model = "pooling")

# Modelo de efectos aleatorios
m_RE <- plm(lifeExp ~ log_PIBper, data = df_pdata, model = "random")

plmtest(pooled_plm, type = "bp")

    Lagrange Multiplier Test - (Breusch-Pagan)

data:  lifeExp ~ log_PIBper
chisq = 2454.3, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects